[论文解读] Radial symmetry for p-harmonic functions in exterior and punctured domains

Giorgio Poggesi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 4

一句话总结

本文在不假设区域光滑或星形的前提下，通过 $P$-函数最大值原理、积分恒等式、等周不等式以及类肥皂泡定理，建立了在外部和穿孔区域中 $p$-次调和函数在 Serrin 型超定边界条件下的径向对称性。关键结果为：唯一能容纳此类解的区域是球体。

ABSTRACT

We prove symmetry for the p-capacitary potential satisfying $$ \\Delta_p u = 0 \\, \\mbox{ in } \\mathbb{R}^N \\setminus \\overline{\\Omega} , \\; u=1 \\, \\mbox{ on } \\Gamma, \\; \\lim_{|x|\ ightarrow \\infty} u(x)=0 , \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; 1<p<N, $$ under Serrin's overdetermined condition $$ | \ abla u| = c \\mbox{ on } \\Gamma. $$ Here $\\Omega$ is any bounded domain on which no a priori assumption is made, and $\\Gamma$ denotes its boundary. Our result improves on a work of Garofalo and Sartori, where the same conclusion was obtained when $\\Omega$ is star-shaped. Our proof uses the maximum principle for an appropriate $P$-function, some integral identities, the isoperimetric inequality, and a Soap Bubble-type Theorem. We then treat the case $1<p=N$, improving previous results present in the literature. Finally, with analogous tools we give a new proof of symmetry for the interior overdetermined problem $$ - \\Delta_p u = K \\, \\delta_0 \\, \\mbox{ in } \\Omega , \\, u=c \\, \\mbox{ on } \\Gamma, \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; 1<p<N, $$ $$ | \ abla u| = 1 \\mbox{ on } \\Gamma , $$ in a bounded star-shaped domain $\\Omega$.

研究动机与目标

• 在不假设区域 $\Omega$ 光滑或星形的前提下，证明外部区域中 $p$-次调和函数在 Serrin 超定条件 $|\nabla u| = c$ 在 $\Gamma$ 上时的径向对称性。
• 将对称性结果推广至临界情形 $p = N$，此时 $p$-电容势在无穷远处呈对数增长。
• 使用与外部情形相同的工具，为具有 Dirac delta 源的内部超定问题提供新的对称性证明。
• 统一并改进先前结果，去除如 $C^{2,\alpha}$ 正则性或星形性等限制性假设，同时保持强对称性结论。

提出的方法

• 通过定义 $P$-函数 $P = u^{-\frac{p(N-1)}{N-p}} |\nabla u|^p$，在 $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$ 上应用强最大值原理。
• 利用积分恒等式与等周不等式，将边界上梯度的 $L^p$-范数与几何量进行比较。
• 应用类肥皂泡定理（定理 A），推导出常平均曲率与等周不等式取等号蕴含球面对称性。
• 依赖于 $W^{1,p}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega})$ 中的弱解与弱边界条件，避免强正则性假设。
• 在内部问题中，利用解在原点附近的渐近展开，将狄拉克源中的常数 $K$ 与曲面测度联系起来。
• 应用闵可夫斯基恒等式与等周不等式取等情形，得出平均曲率必为常数，从而推出球面对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在外部区域中，超定 $p$-电容问题在何种条件下能推出区域为球体？
• RQ2 能否在不假设区域为星形或 $C^{2,\alpha}$ 的前提下，建立外部区域中 $p$-次调和函数的径向对称性？
• RQ3 当 $p = N$ 的临界情形下，对称性结果如何推广，此时势函数具有对数增长？
• RQ4 能否将相同方法应用于具有 Dirac delta 源的内部超定问题，以证明对称性？
• RQ5 积分恒等式与 $P$-函数最大值原理在无强正则性假设下证明对称性时起何作用？

主要发现

• 当 $1 < p < N$ 时，超定问题 $\Delta_p u = 0$ 在 $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$ 中，$u = 1$ 在 $\Gamma$ 上，$\lim_{|x|\to\infty} u = 0$，且在 $\Gamma$ 上 $|\nabla u| = c$，当且仅当 $\Omega$ 为球体时存在弱解。
• 该结果无需对 $\Omega$ 的正则性或几何结构作任何先验假设，优于此前需假设星形性的结果。
• 在临界情形 $p = N$ 时，对于问题 $\Delta_N u = 0$ 在 $\mathbb{R}^N \setminus \overline{\Omega}$ 中，$u = 1$ 在 $\Gamma$ 上，且在无穷远处 $u \sim -\ln|x|$，在相同超定条件下，对称性结论依然成立。
• 对于内部问题 $-\Delta_p u = K\delta_0$ 在 $\Omega$ 中，$u = c$ 在 $\Gamma$ 上，$|\nabla u| = 1$ 在 $\Gamma$ 上，若 $\Omega$ 为星形区域，则解为径向对称，且一致性要求 $K = |\Gamma|$。
• 内部解在原点附近的渐近行为为 $u(x) = \frac{p-1}{N-p}\left(\frac{|\Gamma|}{\omega_N}\right)^{\frac{1}{p-1}} |x|^{-\frac{N-p}{p-1}} + o(|x|^{-\frac{N-p}{p-1}})$，与径向解一致。
• 等周不等式取等与平均曲率条件 $H \equiv H_0$ 联立，可推出 $\Gamma$ 为球面，通过 Alexandrov 的肥皂泡定理确认区域必为球体。