[论文解读] Radial terrace solutions and propagation profile of multistable reaction-diffusion equations over $\mathbb R^N$

Yihong Du, Hiroshi Matano|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 19被引用 8

一句话总结

本论文通过引入径向阶梯解，建立了 $\mathbb{R}^N$ 中多稳态反应-扩散方程解的传播轮廓，并证明一般解会以时间平移的波形均匀收敛于一系列行波。关键结果是传播速度由有限个波速 ${c_k}$ 决定，时间平移中包含 $\frac{N-1}{c_k}\log t$ 阶的对数修正项，将经典双稳态波行为推广至多稳态情形。

ABSTRACT

We study the propagation profile of the solution $u(x,t)$ to the nonlinear diffusion problem $u_t-Δu=f(u)\; (x\in \mathbb R^N,\;t>0)$, $u(x,0)=u_0(x) \; (x\in\mathbb R^N)$, where $f(u)$ is of multistable type: $f(0)=f(p)=0$, $f'(0)<0$, $f'(p)<0$, where $p$ is a positive constant, and $f$ may have finitely many nondegenerate zeros in the interval $(0, p)$. The class of initial functions $u_0$ includes in particular those which are nonnegative and decay to 0 at infinity. We show that, if $u(\cdot, t)$ converges to $p$ as $t o\infty$ in $L^\infty_{loc}(\mathbb R^N)$, then the long-time dynamical behavior of $u$ is determined by the one dimensional propagating terraces introduced by Ducrot, Giletti and Matano [DGM]. For example, we will show that in such a case, in any given direction $ν\in\mathbb{S}^{N-1}$, $u(x\cdot ν, t)$ converges to a pair of one dimensional propagating terraces, one moving in the direction of $x\cdot ν>0$, and the other is its reflection moving in the opposite direction $x\cdotν<0$. Our approach relies on the introduction of the notion "radial terrace solution", by which we mean a special solution $V(|x|, t)$ of $V_t-ΔV=f(V)$ such that, as $t o\infty$, $V(r,t)$ converges to the corresponding one dimensional propagating terrace of [DGM]. We show that such radial terrace solutions exist in our setting, and the general solution $u(x,t)$ can be well approximated by a suitablly shifted radial terrace solution $V(|x|, t)$. These will enable us to obtain better convergence result for $u(x,t)$. We stress that $u(x,t)$ is a high dimensional solution without any symmetry. Our results indicate that the one dimensional propagating terrace is a rather fundamental concept; it provides the basic structure and ingredients for the long-time profile of solutions in all space dimensions.

研究动机与目标

• 理解当非线性项 $f(u)$ 在 $(0,p)$ 内具有多个稳定状态时，$\mathbb{R}^N$ 中多稳态反应-扩散方程解的长期传播轮廓。
• 将经典行波解行为（例如，$U(|x|-ct + \frac{N-1}{c}\log t + R_0)$）推广至存在多个稳定状态的多稳态情形。
• 构造一个径向阶梯解，以捕捉径向方向上的一维传播阶梯行为，从而与一般非径向解进行比较。
• 精确确定传播轮廓中时间平移项 $o(t)$ 的形式，特别证明其为 $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$，适用于一般 $f$。
• 证明具有局部 $L^\infty$ 收敛于 $p$ 的一般解，其渐近行为与径向解具有相同的阶梯结构，仅存在一个依赖时间且有界的时空平移。

提出的方法

• 构造一种特殊的径向对称解，称为径向阶梯解，其表现出与 Ducrot、Giletti 和 Matano 所研究的一维传播阶梯解相同的渐近波状行为。
• 利用径向阶梯解作为比较工具，通过比较原理，为一般非径向初始数据构造上下解。
• 分析径向解的等值集，识别出与多稳态非线性中每个稳定状态相对应的波前。
• 利用解在 $L^\infty_{\text{loc}}$ 意义下趋于 $p$ 的事实，证明径向解收敛于一系列速度为 $c_k$ 的行波 $U_k$。
• 通过利用相邻波速 $c_k$ 与 $c_{k+1}$ 之间的速度差，推导出径向解的精确界限，确保当 $t \to \infty$ 时波前不重叠。
• 通过分析径向坐标中的对数修正项，并将其与平移函数的 $L^\infty$ 有界性联系，证明 $o(t)$ 项为 $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非线性项 $f(u)$ 在 $(0,p)$ 内具有多个稳定零点时，$\mathbb{R}^N$ 中多稳态反应-扩散方程解的传播轮廓如何表现？
• RQ2 Ducrot、Giletti 和 Matano 所研究的一维传播阶梯结构能否推广至 $\mathbb{R}^N$ 中的径向与非径向情形？
• RQ3 此类解的传播轮廓中时间平移项（特别是 $o(t)$ 项）的精确形式是什么？
• RQ4 波速 $c_k$ 与对数修正项 $\frac{N-1}{c_k}\log t$ 在解的渐近行为中如何相互作用？
• RQ5 在何种条件下，解会一致收敛于一系列平移行波之和，且平移函数如何依赖于空间方向？

主要发现

• 当 $t \to \infty$ 时，解 $u(x,t)$ 一致收敛于一系列平移行波之和 $U_k(|x| - c_k t - \zeta_k(t) - \tilde{\zeta}_k(t, x/|x|))$，其中 $\tilde{\zeta}_k \in L^\infty$。
• 时间平移 $\zeta_k(t)$ 满足 $\zeta_k(t) = c_k t + \frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$，对一般 $f$ 成立，其中对数项源于径向几何结构。
• 对一般 $f$，时间平移中 $o(t)$ 项的精确形式为 $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$，该结果由速度差与所构造解的径向对称性推导得出。
• 所构造的径向阶梯解满足其在径向方向上的大时间行为与一维传播阶梯解一致，从而可与一般解进行比较。
• 收敛性在 $x \in \mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 上一致成立，且对应不同 $c_k$ 的波前在 $t \to \infty$ 时彼此不重叠，其间隙趋于无穷。
• 当非线性项满足附加条件 (f4) 时，平移函数 $\tilde{\eta}_k(t, \nu)$ 在 $t \to \infty$ 时收敛于常数 $R_k$，意味着波前位置渐近稳定。