[论文解读] Radial Viscous Flow between Two Parallel Annular Plates

Kirk T. McDonald|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 9

一句话总结

本文推导了在压力梯度作用下，两块平行环形平板之间稳态径向粘性流的近似解析解，假设速度仅沿径向且忽略非线性惯性项。关键结果为轴向上呈抛物线分布的流速剖面和对数形式的压力分布，该结果在惯性效应较小时成立，流量与 ΔP / ln(r₂/r₁) 成正比。

ABSTRACT

An analytic solution to the linearized Navier-Stokes equation is given that describes the radial flow of an incompressible, viscous fluid between two parallel, concentric annular plates.

研究动机与目标

• 建立两块平行环形平板之间存在压差时，稳态不可压缩径向粘性流的模型。
• 在精确解难以求得时，推导非线性纳维-斯托克斯方程的近似解。
• 确定可忽略非线性惯性项以获得有效近似解的条件。
• 提供满足平板处无滑移边界条件的物理解释性速度剖面。
• 评估该线性化解在转子管接头或类似工程系统中的适用性。

提出的方法

• 在柱坐标系中假设速度仅有径向分量 v(r,z)，无角向或轴向分量。
• 应用连续性方程，推导出 v(r,z) = f(z)/r，其中 f(z) 仅为轴向位置的函数。
• 通过忽略径向动量方程中的非线性项 ρf²，对纳维-斯托克斯方程进行线性化。
• 求解得到的可分离常微分方程 f(z)，并施加 z=0 和 z=h 处的无滑移边界条件，得到抛物线形剖面。
• 推导出压力分布 P(r) 为半径的对数函数，与径向压力梯度一致。
• 将 f(z) 和 P(r) 的解结合，得到最终速度剖面，并推导近似解的有效性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在压差作用下，能否为两块平行环形平板之间的径向粘性流推导出解析解？
• RQ2 为何精确的非线性纳维-斯托克斯解无法满足平板处的无滑移边界条件？
• RQ3 在何种条件下可忽略非线性惯性项以获得有效近似解？
• RQ4 轴向速度剖面如何依赖于径向压力梯度和板间距？
• RQ5 该流动构型中径向方向的压力分布形式为何？

主要发现

• 近似径向速度剖面为 v(r,z) = [z(h−z)ΔP] / [2ηr ln(r₂/r₁)] ẑ，其在 z 方向呈抛物线依赖，且与 r 成反比。
• 在半径 r 处的平均径向速度为 ȳ(r) = ȷ̄/r，其中 ȷ̄ = h²ΔP / (12η ln(r₂/r₁))。
• 当无量纲参数 ρh⁴ΔP / (144η²r₁²ln(r₂/r₁)) ≪ 1 时，解有效，确保非线性项可忽略。
• 压力分布随半径呈对数变化：P(r) = [P₁ln(r₂/r) + P₂ln(r/r₁)] / ln(r₂/r₁)。
• 轴向速度剖面 f(z) = 6ȷ̄(z/h)(1−z/h) 满足 z=0 和 z=h 处的无滑移边界条件。
• 即使一个环形平板发生旋转，解仍近似有效，前提是 ωr₂ ≲ ȳ(r₂)。