[论文解读] Radiation and Boundary Conditions in the Theory of Gravitation

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 48

一句话总结

本文提出了一种广义边界条件框架，用于广义相对论中的引力辐射，将爱因斯坦的能量-动量赝张量形式化推广至允许辐射场。通过引入法向量场和度量导数的渐近条件，确保了能量-动量积分的有限性与坐标不变性，并通过时空超曲面间总能量的差异定义了辐射能量，关键结果为辐射能量非负且在波区有良好定义。

ABSTRACT

The Sommerfeld boundary conditions, applied to an asymptotically weak gravitational field, are shown to imply that the 1/r part of the curvature tensor of a space-time, satisfying the Einstein equations, is of type null in the Petrov classification and that there is then a flux of energy carried away by the outgoing gravitational wave.

研究动机与目标

• 通过将边界条件扩展至标准Lichnerowicz条件之外，解决广义相对论中辐射系统总能量与动量定义的模糊性。
• 为孤立引力系统辐射的总能量提供一致的计算方法，尤其在存在向外辐射的情况下。
• 确保在保持空间无穷远处渐近结构的前提下，能量-动量积分在坐标变换下保持有限且不变。
• 将所提出的辐射条件与Pirani和Lichnerowicz关于纯辐射场的定义相联系，证明在波区的一致性。

提出的方法

• 引入一个零向量场 $ k^ u = n^ u + t^ u $，其中 $ n^ u $ 是空间超曲面的单位类空法向，$ t^ u $ 是单位类时法向，以定义辐射的渐近方向。
• 提出广义边界条件：$ g_{ u au} = ar{g}_{ u au} + h_{ u au} $，其中 $ h_{ u au} = O(r^{-1}) $，且 $ h_{ u au, ho} o b_{ u, au}k_ ho + O(r^{-2}) $，以确保渐近行为与辐射相容。
• 利用由爱因斯坦张量导出的超势形式 $ ar{rak{A}}_{ u}^{ ho au} $ 定义能量-动量赝张量 $ rak{t}_{ u}^{ ho} $，通过爱因斯坦方程保证其散度为零。
• 通过空间超曲面 $ au $ 上的曲面积分定义总能量-动量 $ P_ u[ au] $，并定义辐射能量为 $ p_ u = P_ u[ au] - P_ u[ au'] $，通过类时超曲面 $ ar{ au} $ 上的通量积分计算。
• 通过 $ g_{ u au} $ 和 $ h_{ u au} $ 的变换规则，证明 $ P_ u $ 在保持边界条件的坐标变换下保持不变，显示 $ rak{A}'_{ u}{}^{ ho au}k'_{ ho}n'_{ au} = rak{A}_{ u}{}^{ ho au}k_{ ho}n_{ au} + O(r^{-3}) $。
• 推导赝张量的主导行为：$ rak{t}_{ u}^{ ho} = au k_ u k^ ho + O(r^{-3}) $，其中 $ 4 auar{ ho} = h^{ ho au}(h_{ ho au} - rac{1}{2}ar{ ho}^{ ho au}h_{ ho au}) $，确保辐射能量非负。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将广义相对论中的边界条件广义化，以一致地描述超出标准 $ O(r^{-1}) $ 衰减的引力辐射场？
• RQ2 何种条件可确保在存在向外辐射时，总能量-动量积分 $ P_ u[ au] $ 的有限性与坐标不变性？
• RQ3 所提出的形式化与Pirani和Lichnerowicz关于纯辐射场的定义有何关联，尤其在渐近波区？
• RQ4 总辐射能量能否严格定义为两个空间超曲面间总能量的差值？其是否非负？
• RQ5 零向量场 $ k^ u $ 在表征无穷远处引力辐射的方向与结构中起何作用？

主要发现

• 所提出的边界条件，涉及 $ h_{ u au} = O(r^{-1}) $ 和 $ h_{ u au, ho} o b_{ u, au}k_ ho + O(r^{-2}) $，允许渐近辐射场存在，同时保持 $ P_ u[ au] $ 的有限性与在允许坐标变换下的不变性。
• 在满足广义边界条件的前提下，总能量-动量 $ P_ u[ au] $ 定义良好，且与超曲面 $ au $ 的选择无关，并在渐近处恒等的坐标变换下保持不变。
• 辐射能量 $ p_ u = P_ u[ au] - P_ u[ au'] $ 由通量积分 $ ar{p}_ u = ar{ au} k_ u k^ u $ 给出，其中 $ ar{ au} o O(r^{-2}) $，且由于 $ \tau $ 的正性，其非负，确保物理一致性。
• 在波区，曲率张量的行为为 $ R_{ u au ho heta} o \frac{1}{2}k_{[ u}i_{ au][ ho}k_{ heta]} $，其中 $ i_{ u au} = O(r^{-1}) $，Weyl张量为Petrov-Pirani II型，与纯辐射场一致。
• 条件 $ R_{ u au} o \rho k_\nu k_\tau + O(r^{-3}) $ 和 $ k^\nu R_{\nu\tau\rho\theta} \to 0 $，$ k^{[\nu}R^{\rho]\tau}\rho\theta \to 0 $，在 $ r \to \infty $ 极限下与Lichnerowicz对纯辐射场的定义一致，表明与现有形式化的一致性。
• 该形式化在存在电磁场时依然有效，其中 $ \bar{\tau} = O(r^{-2}) $，且辐射能量保持非负，证实了该方法的鲁棒性。