[论文解读] Radical-injectivy in the category S-Act

M. Haddadi, seyed mojtaba naser Sheykholislami|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过霍恩克雷根（Hoehnke）根引入S-acts的r-内射性，推广了模论中的τ-内射性。建立了良好的性质，证明了r-内射S-acts的贝尓-斯科尔尼亚科夫（Bear-Skornjakov）准则，并表明当r为库罗什-阿米茨尔（Kurosh-Amitsur）根时，在特定条件下r-内射S-acts与内射S-acts一致，最终通过一个新的根r_G对内射S-acts给出了刻画。

ABSTRACT

Various generalizations of the concept of injectivy, in particular injectivy with respect to a specific class of morphisms, have been intensively studied throughout the years in different categories. One of the important kinds of injectivy studied in the category R-Mod of R-modules is $τ$-injectivy, for a torsion theory $τ$, or in the other words r-injectivy, where r is the induced idempotent radical by $τ$. In this paper, we introduce the notion of r-injectivy, for a Hoehnke radical r in the category S-Act of S-acts and we study the main properties of this kind of injectivy. Indeed, we show that this kind of injectivy is well behavior and also we present a Bear Theorem for r-injective S-acts. We then consider r-injectivy for a Kurosh-Amitsur radical r and we give stronger results in this case. Finally we present conditions under which r-injective S-acts are exactly injective ones and we give a characterization for injective S-acts

研究动机与目标

• 将模论中的τ-内射性从R-Mod推广到S-Act范畴，使用霍恩克雷根根。
• 基于霍恩克雷根根r诱导的闭包算子，定义相对于r-单射的r-内射性，即一类由闭包算子导出的态射类。
• 建立r-内射性的良好性质，并证明r-内射S-acts的贝尓-斯科尔尼亚科夫型准则。
• 研究当r为库罗什-阿米茨尔根时的r-内射性，获得更强的结构性结果。
• 通过证明r_G-内射S-acts与普通内射S-acts一致，给出内射S-acts的刻画，其中r_G为特定的库罗什-阿米茨尔根。

提出的方法

• 为每个霍恩克雷根根r关联一个闭包算子c^r，并将r-单射定义为c^r-稠密的单射。
• 研究r-单射的结构性质，包括其在同态和扩张下的行为。
• 将r-内射性定义为对r-单射的扩张性质，并证明其行为的基本定理。
• 通过分析循环S-acts的大子集上的扩张，建立r-内射性的贝尓-斯科尔尼亚科夫准则。
• 基于零元素和具有零像的循环子集，构造一个特定的库罗什-阿米茨尔根r_G。
• 证明r_G-内射性刻画了S-Act中的普通内射性，利用斯科尔尼亚科夫准则和闭包性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过霍恩克雷根根将模论中的τ-内射性推广到S-Act范畴？
• RQ2 r-单射（r-内射性所基于的态射类）的结构性质和范畴论性质是什么？
• RQ3 在什么条件下r-内射性与S-Act中的普通内射性一致？
• RQ4 当r为库罗什-阿米茨尔根时，会涌现出哪些更强的结果，特别是关于内射包和子集的结构？
• RQ5 能否构造一个典范根r_G，使得r_G-内射性刻画普通内射S-acts？

主要发现

• 当r为库罗什-阿米茨尔根时，r-内射性具有良好行为，且在取r-内射包时封闭。
• 当r为库罗什-阿米茨尔根时，若A是r-内射的，则Σ_r(A)中的每个子集B都是r-内射的。
• 当r为库罗什-阿米茨尔根时，根类R_r在r-内射包下封闭。
• 通过零元素和具有零像的循环子集定义的根r_G是一个库罗什-阿米茨尔根。
• r_G-内射S-acts恰好是内射S-acts，从而为内射S-acts提供了新的刻画。
• 建立了更强的贝尓-斯科尔尼亚科夫准则：一个S-acts是内射的，当且仅当它含有零元素，且每个从循环S-acts的大子集到它的同态都能扩张到整个循环S-acts。