[论文解读] Radius of a Photon Beam with Orbital Angular Momentum

Basil L. Davis, L. Kaplan|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Orbital Angular Momentum in Optics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文引入了戈伊半径 $ r_G $，即携带轨道角动量（OAM）的拉盖尔-高斯光束中的横向边界，定义为戈伊相位移为零的径向位置。研究表明，在焦平面处 $ r_G = w(0)\sqrt{2p + |\ell| + 1} $，其随光束的OAM和径向节点数而变化，并证明 $ r_G $ 在瑞利范围处发散，而光束宽度保持有限，从而为光束提供了物理边界，并解决了在自旋-轨道角动量旋转模型中的不一致问题。

ABSTRACT

We analyze the transverse structure of the Gouy phase shift in light beams carrying orbital angular momentum and show that the Gouy radius $r_G$ characterizing the transverse structure grows as $\sqrt{2p+|\ell|+1}$ with the nodal number $p$ and photon angular momentum number $\ell$. The Gouy radius is shown to be closely related to the root-mean-square radius of the beam, and the divergence of the radius away from the focal plane is determined. Finally, we analyze the rotation of the Poynting vector in the context of the Gouy radius.

研究动机与目标

• 识别并定义受戈伊相位移控制的扭曲光子束中的横向边界，该边界与传统的光束半径 $ w(z) $ 不同。
• 通过引入戈伊半径作为正确的径向尺度，解决先前关于拉盖尔-高斯光束中坡印廷矢量旋转模型的不一致性。
• 确立戈伊半径 $ r_G $ 作为分离横向波数分量‘允许’与‘禁止’区域的物理边界。
• 量化戈伊效应的横向结构及其对OAM量子数 $ \ell $ 和径向节点数 $ p $ 的依赖关系。

提出的方法

• 利用傍轴近似和矢势 $ \mathbf{A} $ 推导拉盖尔-高斯（LG）光束中戈伊相位移的横向径向依赖关系。
• 将戈伊半径 $ r_G $ 定义为戈伊相位移变为零的径向位置，对应于实数与虚数横向波数之间的转变。
• 计算光束的均方根（rms）半径，并与 $ r_G $ 进行比较，表明在焦平面处两者均按 $ \sqrt{2p + |\ell| + 1} $ 变化。
• 分析LG光束中坡印廷矢量 $ \vec{S} $，识别其方位角和径向分量的径向依赖关系，以评估旋转动力学。
• 重新审视并修正PadgAll提出的坡印廷矢量旋转模型，表明旋转速率取决于 $ r_G $，而非强度最大值半径。
• 利用傍轴波动方程和麦克斯韦方程的精确解，推导 $ r_G $ 的径向演化，证明其在 $ z = z_R $ 处发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉盖尔-高斯光束中戈伊相位移的横向结构是什么？它在何处为零？
• RQ2 戈伊半径 $ r_G $ 与光束的rms半径以及量子数 $ p $ 和 $ \ell $ 有何关系？
• RQ3 为何扭曲光束中坡印廷矢量的旋转速率依赖于径向尺度 $ r_G $，而非强度最大值？
• RQ4 光束传播超过焦平面后，$ r_G $ 发生什么变化？其与光束宽度 $ w(z) $ 和rms半径相比如何？
• RQ5 能否将 $ r_G $ 作为光束中横向波分量‘允许’与‘禁止’区域的物理边界？

主要发现

• 在焦平面处，戈伊半径 $ r_G $ 为 $ r_G = w(0)\sqrt{2p + |\ell| + 1} $，与光束的rms半径成正比。
• 戈伊半径在瑞利范围 $ z_R $ 处发散，尽管光束宽度 $ w(z) $ 和rms半径仍保持有限。
• 在 $ r_G $ 之外，横向波数 $ k_x $ 和 $ k_y $ 变为虚数，表明振幅衰减，从而定义了‘禁止’区域。
• 坡印廷矢量的旋转速率并非如先前所声称的与 $ \ell $ 无关；相反，其依赖于 $ r_G $，正确的旋转速率由下式给出：$ \partial\varphi/\partial z = \frac{|\ell|}{2z_R(2p + \ell| + 1)} \cdot \frac{z^2_R - z^2}{(z^2_R + z^2)} $。
• 通过将 $ r = r_G $ 代入旋转公式，对坡印廷矢量的方位旋转进行定量修正，得到 $ \varphi = \frac{|\ell|}{2p + |\ell| + 1} \left[ \tan^{-1}(z/z_R) - \frac{z}{2z_R} \right] $。
• 由于其与相位和波数行为的直接关联，戈伊半径提供了比 $ w(z) $、强度最大值半径或rms半径更具物理意义的边界。