[论文解读] Radius of Starlikeness for Classes of Analytic Functions

Kanika Khatter, See Keong Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文确定了单位圆盘上三类解析函数的精确星性半径，这些函数通过涉及函数 $ g $ 的从属条件定义，其中 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}g(z)\right) > 0 $。利用系数估计和从属原理，推导出包括 $ \alpha $ 阶星性、双纽线星性、抛物星性、指数星性等在内的子类的精确半径，给出了每种半径的显式公式和数值结果，并通过极值函数验证了其最优性。

ABSTRACT

We consider normalized analytic function $f$ on the open unit disk for which either $\operatorname{Re} f(z)/g(z)>0$, $|f(z) /g(z) - 1|<1$ or $\operatorname{Re} (1-z^2) f(z) /z>0$ for some analytic function $g$ with $\operatorname{Re} (1-z^2) g(z) /z>0$. We have obtained the radii for these functions to belong to various subclasses of starlike functions. The subclasses considered include the classes of starlike functions of order $α$, lemniscate starlike functions and parabolic starlike functions.

研究动机与目标

• 确定最大的半径 $ \rho \leq 1 $，使得对所有 $ 0 < r \leq \rho $，函数 $ f_r(z) = f(rz)/r $ 属于星函数的各类子类，其中 $ f \in \mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \mathcal{K}_3 $。
• 通过考虑比值 $ f(z)/g(z) $ 或 $ (1-z^2)f(z)/z $ 定义的类，扩展先前的半径结果，其中 $ g $ 满足特定的实部条件。
• 计算星函数显著子类的最优半径，包括 $ \mathcal{S}^*(\alpha) $、$ \mathcal{S}_L^* $、$ \mathcal{S}_e^* $、$ \mathcal{S}_{RL}^* $、$ \mathcal{S}_c^* $、$ \mathcal{S}_{\leftmoon}^* $ 和 $ \mathcal{S}_R^* $，在给定函数类下，给出显式表达式。
• 通过特定极值函数 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ 验证所获半径的最优性，表明在 $ z = ir $ 处边界条件取等。

提出的方法

• 该研究基于涉及 $ f/g \in \mathcal{P} $、$ |f/g - 1| < 1 $ 或 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}f(z)\right) > 0 $ 的从属条件，定义了三类 $ \mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \mathcal{K}_3 $，其中 $ g $ 满足 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}g(z)\right) > 0 $。
• 应用已知的从属原理和系数估计，特别利用函数 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $，检验 $ zf'(z)/f(z) $ 在虚轴上的边界行为。
• 对于每类星函数子类，通过求解涉及 $ r $ 的不等式推导半径，例如 $ \frac{2r(r^2 + r + 1)}{1 - r^4} \leq \text{阈值} $，其中阈值取决于定义子类的函数 $ h $。
• 半径计算为从不等式等式条件导出的特定多项式方程的最小正实根，例如 $ \mathcal{S}_P^* $ 对应 $ 3r^4 - 4r^3 - 4r^2 - 4r + 1 = 0 $。
• 使用引理 2.4–2.9 将 $ zf'(z)/f(z) $ 的增长与 $ h(z) $ 的像联系起来，确保子类关系 $ zf'(z)/f(z) \prec h(z) $ 在半径 $ r^* $ 内成立。
• 通过证明对于 $ f_3 $，在 $ z = ir^* $ 处 $ zf_3'(z)/f_3(z) $ 达到 $ h $ 的像的边界，且在定义不等式中取等，从而确认最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ f \in \mathcal{K}_3 $，使得 $ f_r(z) = f(rz)/r \in \mathcal{S}^*(h) $ 的最大半径 $ \rho $ 是多少，其中 $ \mathcal{S}^*(h) $ 是由 $ zf'(z)/f(z) \prec h(z) $ 定义的星函数子类？
• RQ2 星性半径在不同星函数子类中如何变化，例如当 $ h(z) = \sqrt{1+z} $、$ h(z) = e^z $ 或 $ h(z) = 1 + \sin z $ 时？
• RQ3 是否可以使用单一极值函数验证所计算半径的最优性？如果是，该函数是什么，且在何处取等？
• RQ4 哪些多项式方程定义了 $ \mathcal{S}_e^* $、$ \mathcal{S}_c^* $ 和 $ \mathcal{S}_R^* $ 等类的确切半径？
• RQ5 条件 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}f(z)\right) > 0 $ 相较于其他类，如何影响星性半径？

主要发现

• $ \mathcal{S}_P^* $-半径对于类 $ \mathcal{K}_3 $ 为 $ R_{\mathcal{S}_P^*} = r^* \approx 0.2021347 $，即方程 $ 3r^4 - 4r^3 - 4r^2 - 4r + 1 = 0 $ 的最小正实根，且对 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ 是最优的。
• 指数星性半径 $ R_{\mathcal{S}_e^*} \approx 0.244259 $ 是方程 $ (2r^3 + 2r^2 + 2r - 1 - r^4)e + 1 - r^4 = 0 $ 的最小正实根，且在 $ z = iR_{\mathcal{S}_e^*} $ 处通过 $ |\log(zf_3'(z)/f_3(z))| = 1 $ 得到最优性验证。
• $ \mathcal{S}_c^* $-半径为 $ R_{\mathcal{S}_c^*} \approx 0.254716 $，由方程 $ 3r^3 + 3r^2 + 3r - 1 - 2r^4 = 0 $ 的最小正实根给出，且由于在 $ z = iR_{\mathcal{S}_c^*} $ 处 $ zf_3'(z)/f_3(z) = 1/3 = h_c(-1) $，故为最优。
• $ \mathcal{S}_{\leftmoon}^* $-半径是方程 $ 2r^3 + 2r^2 + 2r - \sqrt{2}r^4 = 2 - \sqrt{2} $ 的最小正实根，且通过在 $ z = iR_{\mathcal{S}_{\leftmoon}^*} $ 处验证 $ |(zf_3'(z)/f_3(z))^2 - 1| = 2|zf_3'(z)/f_3(z)| $ 得到最优性确认。
• $ \mathcal{S}_{\sin}^* $-半径是方程 $ 2r(r^3 + r^2 + r + 1) = \sin(1)(1 - r^4) $ 的最小正实根，且对 $ f_3 $ 为最优，因为在定义条件中取等。
• $ \mathcal{S}_R^* $-半径是方程 $ (2\sqrt{2} - 1)r^4 - 2r(r^2 + r + 1) + (3 - 2\sqrt{2}) = 0 $ 的最小正实根，且通过在 $ z = iR_{\mathcal{S}_R^*} $ 处 $ zf_3'(z)/f_3(z) = 2\sqrt{2} - 2 = h_R(-1) $ 得到最优性确认。