[论文解读] Radon measure-valued solutions of first order hyperbolic conservation laws

Michiel Bertsch, Flavia Smarrazzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了具有非负Radon测度取值初始数据的一阶双曲守恒律熵解的存在性与唯一性。文章引入了一种子测度熵公式，并证明了解的奇异部分沿特征线连续演化，存在一个精确的二分法：当$φ$在无穷远处为次线性时，解立即正则化为$L^1$函数；当$φ$为线性函数（如$φ(u)=u$）时，奇异部分永久存在，具体取决于$φ$在无穷远处的渐近行为。

ABSTRACT

We study nonnegative solutions of the Cauchy problem $$ \begin{cases} u_t+[φ(u)]_x=0 & ext{in } \mathbb{R} imes (0,T) \\ u=u_0\ge 0& ext{in } \mathbb{R} imes \{0\}, \end{cases} $$ where $u_0$ is a Radon measure and $φ:[0,\infty)\mapsto \mathbb{R}$ is a globally Lipschitz continuous function. We construct suitably defined entropy solutions in the space of Radon measures. Under some additional conditions on $φ$, we prove their uniqueness if the singular part of $u_0$ is a finite superposition of Dirac masses. In terms of the behaviour of $φ$ at infinity we give criteria to distinguish two cases: either all solutions are function-valued for positive times (an instantaneous regularizing effect), or the singular parts of certain solutions persist until some positive {\em waiting time} (in the linear case $φ(u)=u$ this happens for all times). In the latter case we describe the evolution of the singular parts.

研究动机与目标

• 为初始数据为非负有限Radon测度时的一阶双曲守恒律定义并构造熵解。
• 分析解的奇异部分随时间的演化，特别是其持续存在或消失的特性。
• 在通量函数$φ$满足特定条件下，建立熵解的唯一性，尤其当初始奇异部分为有限个Dirac质量的叠加时。
• 根据$φ$的渐近行为将解分为两种情形：要么在时间上立即正则化为$L^1$函数，要么奇异部分在所有正时间持续存在。
• 通过光滑初始数据的逼近过程，提供一种收敛于测度取值熵解的严格逼近方法。

提出的方法

• 通过涉及测试函数$ξ$和对偶配对$\langle u_s(\cdot,t), \xi_\nu \rangle_{\mathbb{R}}$的弱形式定义测度取值熵解，其中$\xi_\nu = \xi_t + C_\varphi \xi_x$，且$C_\varphi = \lim_{u\to\infty} \varphi(u)/u$。
• 采用逼近方法，使用收敛于Dirac函数的光滑初始数据，通过$n \to \infty$的极限构造解。
• 证明解的奇异部分沿特征线$x = x_0 + C_\varphi t$非增，且当$C_\varphi = 0$时取等号。
• 通过相对熵论证证明唯一性，表明具有相同初始数据的两个熵解在时空几乎处处相等。
• 证明依赖于比较原理，以及绝对连续部分$u_r$在取值于Radon测度空间的意义下关于时间连续的性质。
• 通过显式例子验证构造过程，例如当$\varphi(u) = \text{sgn}(p)[(1+u)^p - 1]$且$p < 1$时，解可显式计算并验证为熵解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通量函数$\varphi$满足何种条件时，双曲守恒律的解在$t > 0$时立即正则化（即为$L^1$取值）？
• RQ2 解的奇异部分在何时持续存在于所有正时间，其沿特征线的演化行为如何？
• RQ3 当初始数据为有限个Dirac质量叠加时，是否存在唯一的测度取值熵解？
• RQ4 当$\varphi(u)$在无穷远处的渐近行为如何决定奇异部分是否立即正则化或持续存在？
• RQ5 是否可通过从光滑初始数据出发的一致逼近方案构造解？

主要发现

• 对于次线性通量函数（$C_\varphi = 0$），如$\varphi(u) = \text{sgn}(p)[(1+u)^p - 1]$且$p < 1$，解立即正则化：$t > 0$时奇异部分消失。
• 在线性情形$\varphi(u) = u$（$C_\varphi = 1$）下，奇异部分在所有$t > 0$持续存在，且解在所有正时间保持为测度。
• 当$\varphi$为凹函数且次线性（$p < 1$，$p \neq 0$）时，解表现出等待时间$t_0$，此后奇异部分可能消失或以受控方式演化。
• 当$p < 0$时，解的奇异部分为$\max\{1-t, 0\}\delta_0$，在$t = 1$后消失，而正则部分显式表示为$[(|p|tx^{-1})^{1/(1-p)} - 1]\chi_A$。
• 当$0 < p < 1$时，解完全正则：$u(x,t) = [(|p|tx^{-1})^{1/(1-p)} - 1]\chi_B$，$t > 0$时无奇异部分，且等待时间$t_0 = 0$。
• 当初始数据为有限个Dirac质量叠加且$\varphi$满足特定凹性与增长条件时，熵解的唯一性得以确立。