[论文解读] Radon-Nikodym approximation in application to image analysis

Vladislav Gennadievich Malyshkin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Image and Signal Denoising Methods被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于Radon-Nikodym的图像重建方法，用两个基函数二次型的比值替代传统的最小二乘逼近，显著减少了边界振荡并提高了数值稳定性。通过使用矩阵矩 $<fQ_jQ_k>$ 而非向量矩 $<fQ_k>$，该方法实现了更鲁棒的图像重建、特征估计与变换表示，尤其在使用勒让德或切比雪夫等稳定多项式基时效果更佳。

ABSTRACT

For an image pixel information can be converted to the moments of some basis $Q_k$, e.g. Fourier-Mellin, Zernike, monomials, etc. Given sufficient number of moments pixel information can be completely recovered, for insufficient number of moments only partial information can be recovered and the image reconstruction is, at best, of interpolatory type. Standard approach is to present interpolated value as a linear combination of basis functions, what is equivalent to least squares expansion. However, recent progress in numerical stability of moments estimation allows image information to be recovered from moments in a completely different manner, applying Radon-Nikodym type of expansion, what gives the result as a ratio of two quadratic forms of basis functions. In contrast with least squares the Radon-Nikodym approach has oscillation near the boundaries very much suppressed and does not diverge outside of basis support. While least squares theory operate with vectors $$, Radon-Nikodym theory operates with matrices $$, what make the approach much more suitable to image transforms and statistical property estimation.

研究动机与目标

• 解决标准最小二乘图像重建在有限矩下固有的不稳定性与边界振荡问题。
• 基于近期矩计算的进展，开发一种利用高阶矩进行数值稳定的图像重建方法。
• 通过Radon-Nikodym导数将图像重建重新表述为两个二次型的比值，提升鲁棒性与可解释性。
• 通过基于矩的表示进行矩阵代数运算，实现高效的图像变换与统计特性估计。
• 通过广义特征值分解引入一种“自然基”，实现紧凑且稳定的图像表示。

提出的方法

• 用基于矩阵矩 $<fQ_jQ_k>$ 的Radon-Nikodym方法替代使用向量矩 $<fQ_k>$ 的最小二乘逼近。
• 利用基函数与逆Gram矩阵导出的局域化态 $\psi_{x_0}(x)$，定义一个正权重重建核，以抑制振荡。
• 将Radon-Nikodym逼近 $A_{RN}(x)$ 推导为两个二次型的比值：$\sum_{i,j,k,m} Q_i(x) G^{-1}_{ij} <fQ_jQ_k> G^{-1}_{km} Q_m(x)$ 除以 $\sum_{i,j} Q_i(x) G^{-1}_{ij} Q_j(x)$。
• 利用广义特征值问题 $\sum_m <Q_k f Q_m> \psi_m^{(s)} = \lambda^{(s)} \sum_m <Q_k Q_m> \psi_m^{(s)}$ 计算“自然基” $\psi^{(s)}(x)$，使两个矩矩阵对角化。
• 在自然基中应用勒贝格型积分，其中测度 $\mu_i$ 为值区间 $[f_i, f_i + df)$ 内特征值 $\lambda^{(s)}$ 的计数，实现鲁棒的统计估计。
• 利用正交基（勒让德、切比雪夫、拉盖尔、埃尔米特）的稳定数值库，实现高阶矩的精确计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Radon-Nikodym的重建方法在有限矩图像重建中，能否在抑制边界振荡方面优于最小二乘法？
• RQ2 与基于向量的最小二乘法相比，使用 $<fQ_jQ_k>$ 矩的矩阵方法在数值稳定性方面有何提升？
• RQ3 对矩矩阵进行广义特征值问题求解，能否产生一种“自然基”，从而简化图像表示与处理？
• RQ4 图像变换与统计特性在多大程度上可表示为基于矩的表示的矩阵迹？
• RQ5 在自然基中使用特征值计数作为测度的勒贝格型积分，与标准的基于像素的勒贝格积分在图像分析中相比如何？

主要发现

• Radon-Nikodym方法产生的重建结果是基函数两个二次型的比值，由于权重函数的正性，天然抑制了图像边界附近的振荡。
• 与最小二乘法不同，该方法在基函数支撑集之外不会发散，提供了更可靠的外推行为。
• 使用矩阵矩 $<fQ_jQ_k>$ 而非向量矩 $<fQ_k>$，使得通过矩阵代数稳定计算图像特征与变换成为可能。
• 广义特征值问题产生一种“自然基” $\psi^{(s)}(x)$，其使图像矩矩阵与Gram矩阵同时对角化，从而简化了相关性与平均值的计算。
• 图像平均值与互相关可表示为矩阵迹，例如 $\overline{f} = \mathrm{Tr}(G^{-1} <fQ_jQ_k>) / \dim G$，从而实现高效的统计估计。
• 在自然基中的勒贝格型积分使用值区间内特征值的计数作为测度，提供了一种稳定且与基无关的替代像素密度估计的方法。