[论文解读] Radon--Nikodym representations of Cuntz--Krieger algebras and Lyapunov spectra for KMS states

Marc Keßeböhmer, Manuel Stadlbauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文建立了Cuntz--Krieger代数上$(H,\beta)$-KMS态与双Perron--Frobenius算子$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$对应于特征值1的特征测度之间的一一对应关系，将先前结果推广至包含抛物元素的扩张系统。通过马尔可夫纤维系统引入Cuntz--Krieger代数的Radon--Nikodym表示，并将该框架应用于克菜因群，推导出KMS态在极限集上连续函数限制下的Hausdorff维数公式。

ABSTRACT

We study relations between $(H,β)$--KMS states on Cuntz--Krieger algebras and the dual of the Perron--Frobenius operator $\mathcal{L}_{-βH}^{*}$. Generalising the well--studied purely hyperbolic situation, we obtain under mild conditions that for an expansive dynamical system there is a one--one correspondence between $(H,β)$--KMS states and eigenmeasures of $\mathcal{L}_{-βH}^{*}$ for the eigenvalue 1. We then consider representations of Cuntz--Krieger algebras which are induced by Markov fibred systems, and show that if the associated incidence matrix is irreducible then these are $\ast$--isomorphic to the given Cuntz--Krieger algebra. Finally, we apply these general results to study multifractal decompositions of limit sets of essentially free Kleinian groups $G$ which may have parabolic elements. We show that for the Cuntz--Krieger algebra arising from $G$ there exists an analytic family of KMS states induced by the Lyapunov spectrum of the analogue of the Bowen--Series map associated with $G$. Furthermore, we obtain a formula for the Hausdorff dimensions of the restrictions of these KMS states to the set of continuous functions on the limit set of $G$. If $G$ has no parabolic elements, then this formula can be interpreted as the singularity spectrum of the measure of maximal entropy associated with $G$.

研究动机与目标

• 将KMS态与双Perron--Frobenius算子的特征测度之间的一一对应关系推广至包含抛物元素的扩张动力系统。
• 在关联矩阵不可约时，建立由马尔可夫纤维系统诱导的Cuntz--Krieger代数的Radon--Nikodym表示。
• 将一般框架应用于本质上自由的克菜因群（含抛物元素），通过Lyapunov谱和多重分形分解分析KMS态。
• 推导KMS态在克菜因群极限集上连续函数限制下的Hausdorff维数公式。
• 当群无抛物元素时，将所得维数公式解释为最大熵测度的奇异谱。

提出的方法

• 使用双Perron--Frobenius算子$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$刻画Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$上$(H,\beta)$-KMS态。
• 通过具有连续Radon--Nikodym导数的马尔可夫纤维系统构造$\mathcal{O}_A$的Radon--Nikodym表示。
• 将热力学形式化应用于本质上自由克菜因群的极限集，利用Bowen--Series映射的类比在边界上定义动力系统。
• 建立$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$对应于特征值1的特征测度与在$\{H=0\}$上平凡的$(H,\beta)$-KMS态之间的一一对应关系。
• 利用Lyapunov谱推导KMS态在$\mathcal{C}(L(G))$上限制的Hausdorff维数公式。
• 通过在原像集上取有限和，利用可测函数$H$和$\widetilde{\chi}$定义全空间上的转移函数$\chi$，确保当$H$和$\widetilde{\chi}$连续时$\chi$也连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于包含抛物元素的扩张系统，$(H,\beta)$-KMS态与$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$对应于特征值1的特征测度之间是否存在一一对应关系？
• RQ2 在何种条件下，Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$与具有连续Radon--Nikodym导数的马尔可夫纤维系统诱导的表示*$-同构？
• RQ3 能否利用本质上自由克菜因群的Bowen--Series映射类比的Lyapunov谱在关联的Cuntz--Krieger代数上定义解析族的KMS态？
• RQ4 KMS态在克菜因群极限集上连续函数限制下的Hausdorff维数是多少？
• RQ5 当群无抛物元素时，维数公式与最大熵测度的奇异谱有何关系？

主要发现

• 存在$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$对应于特征值1的特征测度集合与在$\{H=0\}$上平凡的$(H,\beta)$-KMS态集合之间的一一对应关系，将先前结果推广至$H \geq 0$的情形。
• 若关联矩阵$A$不可约且测度$m$的Radon--Nikodym导数在其支集上连续，则Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$允许由马尔可夫纤维系统诱导的Radon--Nikodym表示。
• 对于本质上自由的克菜因群$G$，Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$允许由Bowen--Series映射类比的Lyapunov谱诱导的解析族KMS态。
• KMS态在$\mathcal{C}(L(G))$上限制的Hausdorff维数由包含Lyapunov指数和Perron--Frobenius算子特征值的公式给出。
• 当$G$无抛物元素时，维数公式与关联于$G$的最大熵测度的奇异谱一致，将KMS理论与多重分形分析联系起来。
• 通过在全空间$\Omega$上对原像集取有限和，从$H$和$\widetilde{\chi}$构造出空间上的可测函数$\chi$，确保当$H$和$\widetilde{\chi}$连续时$\chi$也连续。