[论文解读] Rainbow Connection Number and Radius

Manu Basavaraju, L. Sunil Chandran+2 more|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Nov 2, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文在半径 r 和弦性 k 的条件下，建立了无桥图的彩虹连通数（rc(G)）的紧致上界，证明了 rc(G) ≤ r(r+2) 且 rc(G) ≤ rk。提出了一种构造性 O(nm)-时间的 (r+3)-近似算法，适用于一般连通图，通过基于BFS的多步支配集与耳分解技术，确保使用最少颜色实现彩虹连通性。

ABSTRACT

The rainbow connection number, rc(G), of a connected graph G is the minimum number of colours needed to colour its edges, so that every pair of its vertices is connected by at least one path in which no two edges are coloured the same. In this note we show that for every bridgeless graph G with radius r, rc(G) <= r(r + 2). We demonstrate that this bound is the best possible for rc(G) as a function of r, not just for bridgeless graphs, but also for graphs of any stronger connectivity. It may be noted that for a general 1-connected graph G, rc(G) can be arbitrarily larger than its radius (Star graph for instance). We further show that for every bridgeless graph G with radius r and chordality (size of a largest induced cycle) k, rc(G) <= rk. It is known that computing rc(G) is NP-Hard [Chakraborty et al., 2009]. Here, we present a (r+3)-factor approximation algorithm which runs in O(nm) time and a (d+3)-factor approximation algorithm which runs in O(dm) time to rainbow colour any connected graph G on n vertices, with m edges, diameter d and radius r.

研究动机与目标

• 建立无桥图的彩虹连通数（rc(G)）关于半径 r 的紧致上界。
• 研究 rc(G) 是否可仅由半径函数界定，尤其针对高连通性图。
• 为一般连通图设计高效的彩虹染色近似算法，并提供可证明的性能保证。
• 探讨额外结构约束（如有界弦性或等距圈大小）是否能导出 rc(G) 关于半径的线性上界。

提出的方法

• 通过迭代扩展 k 步支配集（使用BFS）并用交替颜色池为可接受的耳（连接支配集中顶点的路径）染色，构建无桥图的彩虹染色。
• 使用两个不相交的颜色池 A 和 B，以确保边染色的唯一性，并在耳扩展过程中避免冲突，颜色分配取决于耳是否连接到支配集中的顶点。
• 使用 Foot(u) 数据结构追踪到支配集的BFS路径上最后两个顶点，以检测可接受的耳并确保正确的染色顺序。
• 递归应用该方法，从 k 步支配集构建 (k−1) 步支配集，通过仔细分配边颜色，维持彩虹连通性。
• 通过先将桥收缩为单个顶点，再对所得无桥图进行染色，将方法扩展至一般连通图，最后为原始桥分配唯一颜色。
• 将桥检测算法（O(m) 时间）与主染色算法结合，生成两种近似算法：一种在 O(nm) 时间内实现 (r+3)-因子近似，另一种在 O(dm) 时间内实现 (d+3)-因子近似，其中 d 为直径。

实验结果

研究问题

• RQ1 无桥图的彩虹连通数能否仅由其半径函数界定？
• RQ2 在更强连通性假设下，rc(G) ≤ r(r+2) 的界是否对无桥图仍为紧致？
• RQ3 有界弦性或等距圈大小等额外结构约束是否能导出关于半径的 rc(G) 线性上界？
• RQ4 使用半径或直径作为参数时，对一般连通图的彩虹染色，可实现的近似因子是多少？
• RQ5 能否设计一种具有可证明时间复杂度与近似保证的构造性彩虹染色算法？

主要发现

• 对任意半径为 r 的无桥图 G，其彩虹连通数满足 rc(G) ≤ r(r+2)，且该界对任意连通性强于1-边连通的图均为紧致。
• 对弦性为 k（最大诱导圈大小）的无桥图，有 rc(G) ≤ rk，该结果优于此前对一般无桥图的 4n/5−1 上界。
• 所提算法在 O(nm) 时间内实现 (r+3)-因子近似，适用于任意连通图，其中 r 是 rc(G) 的下界。
• 另一种 (d+3)-因子近似算法在 O(dm) 时间内运行，其中 d 为直径，适用于直径较小的图，提供更快的选项。
• 该算法具有构造性，通过使用交替颜色池对耳进行仔细染色，确保支配集中任意两点间的所有路径均为彩虹路径，从而生成有效的彩虹染色。
• 通过先收缩桥再应用无桥图算法，该方法可扩展至一般连通图，最终颜色总数满足 rc(G) ≤ r(r+2) + b，其中 b 为桥的数量。