[论文解读] Rainbow connection numbers of complementary graphs

Xueliang Li, Yuefang Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文通过分析补图 $\overline{G}$ 的结构约束，研究图 $G$ 的彩虹连通数。证明了若 $\overline{G}$ 避免两种特定配置——直径为 2 或 3，或恰好两个连通分量且其中一个为平凡分量——则 $rc(G) \leq 4$。在额外假设 $\overline{G}$ 为三角形自由图的条件下，进一步证明 $rc(G) \leq 6$，并通过构造法展示了该界为紧致。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph, where adjacent edges may be colored the same, is a rainbow path if no two edges of it are colored the same. A nontrivial connected graph $G$ is rainbow connected if there is a rainbow path connecting any two vertices, and the rainbow connection number of $G$, denoted by $rc(G)$, is the minimum number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow connected. In this paper, we provide a new approach to investigate the rainbow connection number of a graph $G$ according to some constraints to its complement graph $\bar{G}$. We first derive that for a connected graph $G$, if $\bar{G}$ does not belong to the following two cases: $(i)$~$diam(\bar{G})=2,3$, $(ii)~\bar{G}$ contains exactly two connected components and one of them is trivial, then $rc(G)\leq 4$, where $diam(G)$ is the diameter of $G$. Examples are given to show that this bound is best possible. Next we derive that for a connected graph $G$, if $\bar{G}$ is triangle-free, then $rc(G)\leq 6$.

研究动机与目标

• 建立补图 $\overline{G}$ 的充分条件，以保证连通图 $G$ 的彩虹连通数 $rc(G)$ 有界。
• 识别 $\overline{G}$ 中导致 $rc(G)$ 无界的结构性障碍，特别是直径为 2 或 3，以及存在平凡分量的不连通性。
• 在 $\overline{G}$ 为三角形自由图的附加约束下，改进 $rc(G)$ 的上界，证明 $rc(G) \leq 6$。
• 通过显式构造证明这些界的紧致性，表明其无法进一步改进。

提出的方法

• 分析 $\overline{G}$ 的结构，推导出 $rc(G)$ 有界的条件，尤其关注其直径与连通性。
• 应用引理 2.2 将顶点集划分为连通子图，通过诱导子图的 $rc(H_i)$ 来界定 $rc(G)$。
• 利用定理 2.5 关于连通双向支配集的关系，将 $rc(G)$ 与诱导子图的彩虹连通数关联。
• 采用边染色论证与基于顶点离心率及邻域结构的分类讨论。
• 构造特定的边染色方案用于 $\overline{G}$，以实现所声称的上界，尤其利用三角形自由性质。
• 将已知的完全多部图结果（如 $rc(K_{s,t}) \leq 4$）作为分析中的基本构建模块。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\overline{G}$ 条件下，$rc(G)$ 被有界于小常数，特别是 4？
• RQ2 哪些 $\overline{G}$ 的结构性特征（如直径或分量数量）会导致 $rc(G)$ 无界？
• RQ3 当 $\overline{G}$ 为三角形自由图时，其对 $rc(G)$ 的上界有何影响？
• RQ4 当 $\overline{G}$ 为三角形自由图时，是否可以实现 $rc(G) \leq 6$ 的界，且该界是否紧致？
• RQ5 是否存在显式构造可证明所推导的 $rc(G)$ 上界的紧致性？

主要发现

• 若 $\overline{G}$ 的直径既非 2 也非 3，且不包含恰好两个连通分量且其中一个为平凡分量，则 $rc(G) \leq 4$，且该界为最优。
• 当 $\overline{G}$ 为三角形自由图时，$rc(G) \leq 6$，此结论与 $\overline{G}$ 的直径或分量结构无关。
• 对于直径为 3 且为三角形自由图的 $\overline{G}$，有 $rc(G) \leq 5$，表明在此子情形下存在更紧致的界。
• 当 $\overline{G}$ 的直径为 2，或为不连通且含平凡分量时，$rc(G)$ 可随悬挂点数量或割边数量而任意大。
• 界 $rc(G) \leq 4$ 是紧致的，通过显式构造证明在所述条件下可实现 $rc(G) = 4$。
• 对 $\overline{G}$ 的三角形自由假设可保证 $G$ 为爪形自由图，从而可利用连通双向支配集推导出 $rc(G) \leq 6$ 的结果。