[论文解读] Rainbow connection of bridgeless outerplanar graphs with small diameters

Xingchao Deng, He Song+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文确定了直径为2或3的无桥外平面图的精确彩虹连通数。证明了直径为2的图的彩虹连通数为2，但除扇图 $F_n$ ($n \geq 7$) 和 $C_5$ 外，这些图需要3种颜色；对于直径为3的图，彩虹连通数至多为4，且该界是紧致的。

ABSTRACT

In this paper, we investigate rainbow connection number $rc(G)$ of bridgeless outerplanar graphs $G$ with diameter 2 or 3. We proved the following results: If $G$ has diameter $2,$ then $rc(G)=3$ for fan graphs $F_{n}$ with $n\geq 7$ or $C_5,$ otherwise $rc(G)=2;$ if $G$ has diameter $3,$ then $rc(G)\leq 4$ and the bound is sharp.

研究动机与目标

• 确定无桥外平面图在直径为2时的彩虹连通数 $rc(G)$。
• 为无桥外平面图在直径为3时的 $rc(G)$ 建立上界。
• 证明直径为3的图的上界是紧致的。
• 刻画特殊外平面图（如扇图和环）的彩虹连通行为。
• 基于图的结构和直径，提供彩虹连通数的完整分类。

提出的方法

• 通过根据其最长诱导圈分类（$C_3$、$C_4$、$C_5$ 或更大）来分析无桥外平面图的结构。
• 通过向基础圈（$C_4$、$C_5$）添加顶点进行归纳构造，同时保持外平面性和无桥性。
• 应用彩虹着色技术处理扇结构（$F_n$）和环加扇配置，确保所有顶点对之间存在边不相交的彩虹路径。
• 为直径为3的图构造显式的4种着色，并证明某些极值例子无法用3种颜色实现彩虹连通。
• 利用图的子式和结构性质（如最大外平面图、连通支配集）来界定彩虹连通数。
• 通过展示特定图（如图16所示）证明紧致性，这些图恰好需要4种颜色，无法用3种颜色实现彩虹连通。

实验结果

研究问题

• RQ1 无桥外平面图在直径为2时的彩虹连通数是多少？
• RQ2 在直径为2的外平面图中，哪些特定图（如 $F_n$、$C_5$）的彩虹连通数超过2？
• RQ3 无桥外平面图在直径为3时，彩虹连通数的最紧可能上界是什么？
• RQ4 直径为3的图的上界4是否可以达到？如果是，哪些图恰好需要4种颜色？
• RQ5 扇结构和环配置如何影响外平面图中的彩虹连通数？

主要发现

• 对于直径为2的无桥外平面图，彩虹连通数为2，但 $F_n$（$n \geq 7$）和 $C_5$ 除外，这些图需要3种颜色。
• $rc(G) = 3$ 对于 $F_n$（$n \geq 7$）和 $C_5$ 成立，确认这些图是唯一需要3种颜色的直径为2的外平面图。
• 对于直径为3的无桥外平面图，$rc(G) \leq 4$，且该界是紧致的，由显式构造证明。
• 图16(1)的彩虹连通数为4，其诱导子图（图16(4)）同样需要4种颜色，证明了该界的紧致性。
• 所有直径为3的外平面图家族均可使用至多4种颜色实现彩虹连通，无论其大小或扇结构的复杂性如何。
• 存在 $C_5$ 或大型扇结构（$F_n$，$n \geq 7$）会显著提高彩虹连通数，而较小的环和扇结构则允许使用2或3种颜色。