[论文解读] Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs

Deepak Bal, Alan Frieze|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文证明，在随机 k-均匀、k-部超图及边染色随机图中，当边数为 n log n 量级时，以高概率存在彩虹完美匹配或彩虹哈密顿圈。作者采用一种基于控制最大彩虹匹配数与平均彩虹匹配数之比的概率方法，将 Johansson、Kahn 和 Vu 的技术扩展至处理颜色约束，证明了在具有 n 种颜色的随机图与超图中，彩虹结构存在的渐近最优阈值。

ABSTRACT

Let $HP_{n,m,k}$ be drawn uniformly from all $k$-uniform, $k$-partite hypergraphs where each part of the partition is a disjoint copy of $[n]$. We let $HP^{(\k)}_{n,m,k}$ be an edge colored version, where we color each edge randomly from one of $\k$ colors. We show that if $\k=n$ and $m=Kn\log n$ where $K$ is sufficiently large then w.h.p. there is a rainbow colored perfect matching. I.e. a perfect matching in which every edge has a different color. We also show that if $n$ is even and $m=Kn\log n$ where $K$ is sufficiently large then w.h.p. there is a rainbow colored Hamilton cycle in $G^{(n)}_{n,m}$. Here $G^{(n)}_{n,m}$ denotes a random edge coloring of $G_{n,m}$ with $n$ colors. When $n$ is odd, our proof requires $m=\om(n\log n)$ for there to be a rainbow Hamilton cycle.

研究动机与目标

• 确定在具有 n 种颜色的 k-均匀、k-部超图中，保证以高概率存在彩虹完美匹配所需的边数阈值。
• 确定在具有 n 种颜色的边染色随机图中，彩虹哈密顿圈存在的条件。
• 将 Johansson、Kahn 和 Vu 的方法扩展至处理随机超图中的颜色约束。
• 解决关于在具有 n 种颜色和 m = Θ(n log n) 条边的随机图中彩虹哈密顿圈存在的存在性猜想，确认其阈值在常数因子范围内成立。

提出的方法

• 采用一种随机染色模型，其中每条边独立地被赋予 n 种颜色之一。
• 应用两阶段随机过程：首先生成一个完全的 k-部 k-均匀超图，然后随机为其边染色。
• 定义 Φi 为在删除 i 条边后图中彩虹完美匹配的数量，并分析比值 ξi = 1 − Φi/Φi−1。
• 通过集中不等式与熵论证，控制包含某条特定边的彩虹匹配数的最大值与平均值之比。
• 使用换位论证，将使用特定颜色的匹配数与中位数进行比较，表明最大值不会显著大于平均值。
• 利用 Janson 和 Wormald 关于具有 n 种颜色的 2r-正则图的结果，证明在具有 m = Kn log n 条边的随机图中，彩虹哈密顿圈存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 n 种颜色的 k-均匀、k-部超图中，为以高概率保证存在彩虹完美匹配，所需的最少边数是多少？
• RQ2 在具有 n 种颜色和 m = Kn log n 条边的随机边染色图中，是否以高概率包含彩虹哈密顿圈？
• RQ3 Johansson、Kahn 和 Vu 的方法能否被调整以处理超图中的颜色约束，从而证明彩虹匹配的存在性？
• RQ4 对于具有 n 种颜色的随机图，m = Θ(n log n) 是否为彩虹哈密顿圈存在的渐近最优阈值？
• RQ5 当 n 为奇数时，彩虹哈密顿圈的行为如何？是否需要将阈值提高至 m = ω(n log n)？

主要发现

• 对于具有 m ≥ Kn log n 条边和 n 种颜色的 k-均匀、k-部超图，当 K 足够大时，以高概率存在彩虹完美匹配。
• 当 n 为偶数且 m = Kn log n 时，在 G(n)n,m 中以高概率存在彩虹哈密顿圈，与匹配结果的阈值一致。
• 当 n 为奇数时，必须将阈值提高至 m = ω(n log n) 才能确保彩虹哈密顿圈的存在，尽管作者推测这可能是证明方法的副产品。
• 在具有 n 种颜色的完全 k-部 k-均匀超图中，彩虹完美匹配的数量以高概率集中在 (n!)k / nn 附近。
• 该方法控制了每条边对应的彩虹匹配数的最大值与平均值之比，证明其为 O(1) 倍平均值，这是证明的关键。
• 该证明可推广至随机图：通过将边集分解为 8 个子图，每个子图以高概率包含彩虹完美匹配，再将它们组合成一个彩虹哈密顿圈。