[论文解读] Rainbow Neighbourhood Equate Number of Graphs

Johan Kok, Sudev Naduvath|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文引入了彩虹邻域等价数（ren(G)），定义为使子图容许J-着色（即每个顶点均属于包含所有颜色的彩虹邻域的正常顶点着色）所需移除的最小顶点数。研究建立了ren(G)的基础性质，定义了相关不变量如色度与色直径，并探讨了图运算（特别是图的复合）下的结构结果，重点分析了ren(G)在这些运算下的行为。

ABSTRACT

In this paper, a new invariant of a graph namely, the rainbow neighbourhood equate number of a graph $G$ denoted by $ren(G)$ is introduced. It is defined to be the minimum number of vertices whose removal results in a subgraph that admits a $J$-colouring. The new notions of chromatic degree of a vertex $d_χ(v)$, the maximum and minimum chromatic degrees of $G$ denoted, $Δ_χ(G)$ and $δ_χ(G)$ respectively, are also introduced. The chromatic diameter of $G$ denoted, $d(G,χ)$ is introduced as well. The study of $ren(G)$ appears to be very complex for graphs in general so for now, only introductory results will be presented. Finally, the concept of a chromatic degree sequence is proposed as a new research direction.

研究动机与目标

• 定义并研究一种新的图不变量——彩虹邻域等价数（ren(G)），用于衡量为使图容许J-着色而需移除的最小顶点数。
• 引入并分析新的图参数：色度dχ(v)、最大/最小色度Δχ(G)、δχ(G)，以及色直径d(G,χ)。
• 探讨J-着色下图的结构性质，并确定子图容许此类着色的条件。
• 研究ren(G)在图复合运算（特别是G∘H）下的行为，并基于子图的色性质推导递归公式。
• 提出色度序列作为新研究方向，其类比于图度序列，但基于色着色。

提出的方法

• 将ren(G)定义为从G中移除最少数量的顶点，使得诱导子图H容许J-着色，其中每个顶点均位于包含所有使用颜色的彩虹邻域中。
• 引入色度dχ(v)为在χ⁻-着色下，顶点v的闭邻域N[v]中不同颜色的数量。
• 定义Δχ(G)和δχ(G)分别为图G中所有顶点的色度的最大值与最小值。
• 引入色直径d(G,χ)为图G中所有顶点对u,v的|dχ(u) - dχ(v)|的最大值。
• 采用χ⁻-着色惯例：按索引递增顺序分配颜色，以最大化每种颜色的顶点数，从而确保参数着色的一致性与最小性。
• 通过递归公式分析图复合G∘H：若在每份H中移除ren(H)个顶点后得到的H′满足χ(H′) ≥ k−1，则ren(G∘H) = n·ren(H)；否则，ren(G∘H) = n·ren(H) + (m+1)·Σθ(ci)，其中i从χ(H′)+2到k，H′为从每份H中移除ren(H)个顶点后的子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 为使图G的剩余子图容许J-着色，必须移除的最小顶点数是多少？
• RQ2 色度dχ(v)、最大色度Δχ(G)与色直径d(G,χ)如何反映图的结构与可着色性？
• RQ3 在图复合运算（如G∘H）下，彩虹邻域等价数如何变化？
• RQ4 在何种H与G的条件下，复合图G∘H会基于H的色性质保持或改变J-着色性质？
• RQ5 哪些有限整数序列可作为图在χ⁻-着色下的色度序列？其特征是什么？

主要发现

• 对于路径图Pn（n ≥ 3），当n为偶数或被3整除时，ren(Pn) = 0；否则ren(Pn) = 1，因为Pn仅在这些条件下容许J-着色。
• 对于圈图Cn，当n ≡ 0 mod 2 或 n ≡ 0 mod 3 时，ren(Cn) = 0；否则ren(Cn) = 1，因为Cn仅在这些情况下容许J-着色。
• 对于轮图Wn+1 = K1 + Cn，当n ≡ 0 mod 3 时，ren(Wn+1) = 0（因为J(Wn+1) = 4）；否则ren(Wn+1) = 1，取决于是否满足J-着色条件。
• 对于图复合G∘H，其中|G| = n，|H| = m，χ(G) = k，若在每份H中移除ren(H)个顶点后得到的H′满足χ(H′) ≥ k−1，则ren(G∘H) = n·ren(H)。
• 若移除后χ(H′) < k−1，则ren(G∘H) = n·ren(H) + (m+1)·Σθ(ci)，其中i从χ(H′)+2到k，表明其依赖于剩余颜色集中的颜色多重性。
• 当所有顶点具有相等色度时，色直径d(G,χ)为零，例如完全图Kn与路径图Pn，表明色度分布均匀。