[论文解读] Rainbow Pancyclicity in Graph Systems

Yangyang Cheng, Guanghui Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Graph theory and applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了阿哈龙尼关于图系中彩虹泛圈性的渐近版本猜想：当 n 足够大时，任意 n 个在 n 个顶点上的图，每个图的最小度至少为 (1/2 + ε)n，均包含一个彩虹哈密顿圈。证明使用了彩虹版本的吸收技巧，构造一个可吸收任意不相交的彩虹路径（并引入新颜色）的短彩虹圈，最终形成一个彩虹哈密顿圈。

ABSTRACT

Let $G_1,...,G_n$ be graphs on the same vertex set of size $n$, each graph with minimum degree $δ(G_i)\ge n/2$. A recent conjecture of Aharoni asserts that there exists a rainbow Hamiltonian cycle i.e. a cycle with edge set $\{e_1,...,e_n\}$ such that $e_i\in E(G_i)$ for $1\leq i \leq n$. This can be viewed as a rainbow version of the well-known Dirac theorem. In this paper, we prove this conjecture asymptotically by showing that for every $\varepsilon>0$, there exists an integer $N>0$, such that when $n>N$ for any graphs $G_1,...,G_n$ on the same vertex set of size $n$ with $δ(G_i)\ge (\frac{1}{2}+\varepsilon)n$, there exists a rainbow Hamiltonian cycle. Our main tool is the absorption technique. Additionally, we prove that with $δ(G_i)\geq \frac{n+1}{2}$ for each $i$, one can find rainbow cycles of length $3,...,n-1$.

研究动机与目标

• 解决阿哈龙尼关于图系中彩虹哈密顿圈的渐近版本猜想。
• 确立在何种条件下此类图系中存在长度从 3 到 n−1 的彩虹圈。
• 证明阿哈龙尼猜想中最小度阈值 n/2 可以渐近地改进为 (1/2 + ε)n。
• 证明当 δ(Gi) ≥ (n+1)/2 时，所有长度 3 到 n−1 的彩虹圈存在，且结合后续结果，所有长度 3 到 n 的彩虹圈也存在。
• 开发并应用一种彩虹吸收方法，用于在源自图系的边染色多重图中构造彩虹哈密顿圈。

提出的方法

• 使用吸收技巧构造一个短彩虹圈 C，使得 C 可以吸收任意不相交的彩虹路径 P 并引入新颜色。
• 确保对于任意彩虹路径 P 和未使用的颜色 s，C 中存在一条边，其移除后可通过颜色模式为 (s, 3i−1, 3i−2, 3i) 的路径插入来替换。
• 使用概率方法和切尔诺夫不等式，证明在顶点集 W 中的随机 3-路径族可被修剪为一个足够大且交集较少的成对不相交族 W′。
• 应用集中不等式，保证对每个颜色 s 和顶点对 (x1,x2)，在 C 中存在大量具有颜色模式 (s, 3i−1, 3i−2, 3i) 的吸收路径。
• 使用并集界和马尔可夫不等式，证明在正概率下，C 中存在所需的吸收结构。
• 通过先在 V(G) ∓ V(C) 中找到一条彩虹哈密顿路径，再利用吸收性质将其吸收进 C，从而构造最终的彩虹哈密顿圈。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿哈龙尼关于图系中彩虹哈密顿圈的猜想能否被渐近证明？
• RQ2 何种最小度条件可确保在 n 个图的系统中存在长度从 3 到 n−1 的彩虹圈？
• RQ3 吸收技巧能否被改编到彩虹设定中，以在边染色多重图中构造哈密顿圈？
• RQ4 δ(Gi) ≥ n/2 的阈值对彩虹哈密顿圈是否紧致，还是可渐近改进？
• RQ5 图系的何种结构特性可保证除可能的哈密顿圈外，所有长度的彩虹圈均存在？

主要发现

• 对每个 ε > 0，存在 N，使得对所有 n > N，任意 n 个在 n 个顶点上的图，若每个图的最小度至少为 (1/2 + ε)n，则均包含一个彩虹哈密顿圈。
• 当对所有 i 有 δ(Gi) ≥ (n+1)/2 时，该系统包含长度从 3 到 n−1 的所有彩虹圈。
• 阿哈龙尼原始猜想中最小度阈值 n/2 可以渐近地改进为 (1/2 + ε)n。
• 证明中使用的吸收结构可保证任意不相交的彩虹路径（含新颜色）均可被插入到圈中。
• 构造确保每个颜色和顶点对的吸收路径数量至少为 Ω(εμ₁n)，当 n 足够大时该值至少为 1。
• 该结果结合乔斯与金后来对完整猜想的证明，确认当 δ(Gi) ≥ (n+1)/2 时，系统中存在所有长度 3 到 n 的彩虹圈。