[论文解读] Rainbow Ramsey problems for the Boolean lattice

Fei-Huang Chang, Dániel Gerbner+5 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文引入并研究了布尔格上的彩虹Ramsey数，首次系统地探讨了$B_n$中偏序集的单色和彩虹副本。研究证明，对于许多偏序集$P$和$Q$，弱彩虹Ramsey数$RR(P,Q)$等于经典Ramsey数$R_{|Q|-1}(P)$，并提供了构造表明在强版本中存在严格不等式，推动了布尔格中极值偏序集理论的理解。

ABSTRACT

We address the following rainbow Ramsey problem: For posets $P,Q$ what is the smallest number $n$ such that any coloring of the elements of the Boolean lattice $B_n$ either admits a monochromatic copy of $P$ or a rainbow copy of $Q$. We consider both weak and strong (non-induced and induced) versions of this problem. We also investigate related problems on (partial) $k$-colorings of $B_n$ that do not admit rainbow antichains of size $k$.

研究动机与目标

• 为布尔格$B_n$中的偏序集定义并研究彩虹Ramsey数，将经典Ramsey理论扩展至包含彩虹（多色）子偏序集。
• 确定最小的$n$，使得任意$B_n$的$k$-染色中要么包含偏序集$P$的单色副本，要么包含偏序集$Q$的彩虹副本，涵盖弱版本与强（诱导）版本。
• 探讨彩虹Ramsey数与经典Ramsey数之间的关系，特别是$RR(P,Q) = R_{|Q|-1}(P)$是否成立等式或严格不等式。
• 分析避免大小为$k$的彩虹反链的$B_n$的$k$-染色，将其与极值集合论及Lubell型界联系起来。
• 构造避免$A_k$的强彩虹副本的染色，证明当$n,k \to \infty$时，$F'(n,k)/2^{\floor{n/2}} \to \infty$。

提出的方法

• 为布尔格$B_n$中的偏序集$P$和$Q$定义弱与强彩虹Ramsey数$RR(P,Q)$与$RR^*(P,Q)$，其中彩虹副本要求所有元素具有不同颜色。
• 使用Lubell-质量$λ_n({\mathcal{F}})$分析$P$-自由族，并通过$k$-LYM不等式将其与极值集合论联系起来。
• 通过染色论证证明$RR(P,Q) \geq R_{|Q|-1}(P)$：若仅使用$|Q|-1$种颜色，则无法存在彩虹$Q$，因此经典Ramsey数的下界适用。
• 利用大小为$\lfloor n/2\rfloor + l_k$且两两交集较小的随机集合构造显式染色，以避免大小为$k$的强彩虹反链，采用概率方法。
• 分析此类构造中颜色类的大小，证明$|\phi^{-1}(i)| \geq (2^{l_k} - o(1))2^{\lfloor n/2\rfloor}$，从而证明$F'(n,k)$的增长性。
• 利用涉及$\alpha$和$\beta$的代数不等式，对彩虹自由染色最大大小相关的表达式进行有界，证明在特定约束下$1+\beta + \frac{1}{1-(\alpha-\beta)} \leq 1+\sqrt{2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些偏序集$P$与$Q$的配对，弱彩虹Ramsey数$RR(P,Q)$等于经典Ramsey数$R_{|Q|-1}(P)$？
• RQ2 强彩虹Ramsey数中是否可能出现严格不等式$RR^*(P,Q) > R^*_{|Q|-1}(P)$，若存在，其条件为何？
• RQ3 避免$A_k$的强彩虹副本的$k$-染色在$B_n$中的最大大小是多少？
• RQ4 当$n,k \to \infty$时，函数$F'(n,k)$（计数此类染色）的渐近增长行为如何？
• RQ5 是否存在偏序集$P$与$Q$使得$RR(P,Q) > R_{|Q|-1}(P)$，即下界出现严格不等式？

主要发现

• 对于许多偏序集$P$与$Q$，弱彩虹Ramsey数满足$RR(P,Q) = R_{|Q|-1}(P)$，表明命题1.3中的下界等式成立。
• 本文构造了$B_n$的一个$k$-染色，其中不包含$A_k$的强彩虹副本，证明了$F'(n,k) \geq (2^{l_k} - o(1))2^{\lfloor n/2\rfloor}$，其中$l_k = \lfloor \log(k-1)/2 \rfloor$，意味着当$n,k \to \infty$时，$F'(n,k)/2^{\lfloor n/2\rfloor} \to \infty$。
• 对于某些偏序集$P,Q$，强彩虹Ramsey数满足$RR^*(P,Q) > R^*_{|Q|-1}(P)$，表明命题1.3(ii)中的下界可以是严格的。
• 该构造利用大小为$\lfloor n/2\rfloor + l_k$的随机集合，且两两交集不超过$0.26n$，确保任一颜色类无法支持大小为$k$的完整彩虹反链。
• 对表达式$1+\beta + \frac{1}{1-(\alpha-\beta)}$的分析表明，在约束$\alpha < \frac{1}{2+\sqrt{2}-\beta}$下，其有界于$1+\sqrt{2}$，支持了证明中的主要不等式。
• 本文证明了当$0 \leq \beta \leq 1/2$时，$\beta(-\beta^2 + (1+2\sqrt{2})\beta - 2) \leq 0$，这是建立构造中相关表达式上界的关键。