[论文解读] Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs

Jaehoon Kim, Daniela Kühn+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 39被引用 9

一句话总结

本论文在边着色的局部与全局有界条件下，建立了对边着色准随机图的近似彩虹分解，将其分解为彩虹生成结构。证明了对于边着色满足 $(1-o(1))n/2$-有界且局部 $o(n/\text{log}^4 n)$-有界的 $n$-顶点完全图，存在 $(1-o(1))n/2$ 条边不相交的彩虹哈密顿回路；类似结果在拉丁超立方体中几乎生成回路和完整横截上也成立，边界条件中包含对数因子。

ABSTRACT

We prove several results on approximate decompositions of edge-coloured quasirandom graphs into rainbow spanning structures. More precisely, we say that an edge-colouring of a graph is locally $\ell$-bounded if no vertex is incident to more than $\ell$ edges of any given colour, and that it is (globally) $g$-bounded if no colour appears more than $g$ times in the colouring. Note that every proper colouring of an $n$-vertex graph is locally $1$-bounded, and (globally) $n/2$-bounded. Our results imply the following: (i) The existence of approximate decompositions of edge-coloured $K_n$ into rainbow almost-spanning cycles, provided that the colouring is $\frac{n}{2}$-bounded and locally $o(n)$-bounded. (ii) The existence of approximate decompositions of edge-coloured $K_n$ into rainbow Hamilton cycles, provided that the colouring is $(1-o(1))\frac n2$-bounded and locally $o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$-bounded. (iii) A bipartite version of our results implies that every $n imes n$ array, where each symbol appears $(1-o(1))n$ times in total and appears only $o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$ times in each row or column, has an approximate decomposition into full transversals. We also prove analogues of (i) and (ii) for $F$-factors, where $F$ is any fixed graph. Apart from the logarithmic factor in (ii), all these bounds are essentially best possible. (i) can be viewed as a generalization of a recent result of Alon, Pokrovskiy and Sudakov, who showed the existence of an almost spanning cycle in a properly coloured complete graph. Both (i) and (ii) imply approximate versions of a conjecture of Brualdi and Hollingsworth, stating that every properly edge-coloured complete graph can be decomposed into rainbow spanning trees.

研究动机与目标

• 建立边着色准随机图中存在近似彩虹生成子图分解的条件。
• 在局部与全局有界约束下，研究边着色完全图中彩虹哈密顿回路与几乎生成回路的存在性。
• 将结果推广至 $n \times n$ 数组中的横截与任意固定图 $F$ 的 $F$-因子，应用于拉丁方与广义拉丁超立方体。
• 在对数因子范围内，提供边不相交彩虹结构数量的定量边界，并证明这些边界本质上是最优的。
• 通过在放松着色条件下证明近似版本，为 Brualdi-Hollingsworth 关于彩虹生成树分解的猜想做出贡献。

提出的方法

• 利用准随机图性质与概率方法，分析每顶点着色频率有界的边着色（局部 $β$-有界性）与全局有界性（全局 $g$-有界性）。
• 应用基于引理 2.14 的通用分解框架，该引理控制子图中具有不同颜色的不相交边配置的数量。
• 采用随机限制技术：对于哈密顿结构，将图限制在随机顶点子集上，并应用主定理获得几乎生成回路。
• 使用拓扑与极值组合学工具，包括 Aharoni 等人与 Hatami-Shor 的结果，以界定数组中部分横截的大小。
• 通过结合定理 1.7（关于随机子集）与定理 2.10（关于稀疏图）获得泛环性结果，覆盖所有圈长。
• 通过考虑不相交的 $F$ 的彩色副本配置，将方法适配至 $F$-因子，证明在有界着色条件下存在近似分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $K_n$ 的边着色满足何种局部与全局有界条件时，存在大量边不相交的彩虹哈密顿回路？
• RQ2 在弱于正常着色的有界条件下，能否实现彩虹几乎生成回路的近似分解？
• RQ3 在每个符号在 $n \times n$ 数组中全局出现 $O(n)$ 次、每行或每列出现 $o(n/\log^2 n)$ 次的条件下，最大部分横截的大小是多少？
• RQ4 在放松着色约束下，Brualdi-Hollingsworth 关于彩虹生成树分解的猜想能在多大程度上被近似？
• RQ5 对数因子如何影响准随机图中彩虹结构分解边界的紧致性？

主要发现

• 对于任意 $(1-o(1))n/2$-有界且局部 $o(n/\text{log}^4 n)$-有界的 $K_n$ 边着色，存在 $(1-o(1))n/2$ 条边不相交的彩虹哈密顿回路。
• 任意正常边着色的 $K_n$ 均可分解为 $(1-o(1))n/2$ 条边不相交的彩虹几乎生成回路，其长度为 $(1-o(1))n$。
• 任意 $n \times n$ 数组中，若每个符号全局出现 $(1-o(1))n$ 次，且每行或每列出现 $o(n/\text{log}^2 n)$ 次，则可实现近似分解为完整横截。
• 局部与全局着色边界的边界本质上是最优的，仅相差对数因子，如构造所示：不存在长度超过 $n - \Omega(\log n)$ 的彩虹圈。
• 结果可推广至任意固定图 $F$ 的彩虹 $F$-因子，在类似有界条件下存在近似分解。
• 本文提供了一个框架，可推出 Brualdi-Hollingsworth 猜想的近似版本，其结果也被 Glock 等人用于全猜想的证明。