[论文解读] Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza

Maria Axenovich, Felix Christian Clemen|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Limits and Structures in Graph Theory被引用 13

一句话总结

本文通过完全平衡着色（即每个顶点的每种颜色边数相等）和完美差集的联系，解决了Erdős和Tuza关于边着色完全图中彩虹子图的两个长期悬而未决的问题。该文构造了避免彩虹团 $K_q$（$q \geq 4$ 的大多数情况）的完全平衡着色，使用字典积着色方法。关键结果表明，当 $q$ 不是素数幂加一的形时，对于无穷多个满足 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 的 $n$，有 $d(n, K_q) = \infty$，这与 $d(n,F)$ 的有限性猜想相矛盾。

ABSTRACT

An edge-coloring of a complete graph with a set of colors $C$ is called completely balanced if any vertex is incident to the same number of edges of each color from $C$. Erdős and Tuza asked in $1993$ whether for any graph $F$ on $\ell$ edges and any completely balanced coloring of any sufficiently large complete graph using $\ell$ colors contains a rainbow copy of $F$. This question was restated by Erdős in his list of ``Some of my favourite problems on cycles and colourings''. We answer this question in the negative for most cliques $F=K_q$ by giving explicit constructions of respective completely balanced colorings. Further, we answer a related question concerning completely balanced colorings of complete graphs with more colors than the number of edges in the graph $F$.

研究动机与目标

• 解决问题1.1：对于所有边数为 $\ell$ 的图 $F$ 及充分大的 $n \equiv 1 \pmod{\ell}}$，$d(n,F)$ 是否有限，特别是对团 $F = K_q$ 的情况。
• 研究是否存在边数为 $\ell$ 的完全平衡着色，可在大完全图中避免出现 $F$ 的彩虹子图。
• 解决问题1.5：对于 $\ell+1$ 种颜色，是否每个 $K_n$ 的完全平衡着色都包含所有边数为 $\ell$ 的图 $F$ 作为彩虹子图。
• 方法
• 研究问题
• 关键发现

提出的方法

• 作者引入边着色的字典积，递归地从较小的完全图构造更大的完全图的完全平衡着色。
• 基于迭代字典积的递归构造，生成具有 $n = (\ell+1)^k$ 个顶点和 $\ell$ 或 $\ell+1$ 种颜色的着色，确保每个顶点的每种颜色边数均匀分布。
• 该构造依赖于避免彩虹团 $K_q$ 的条件，特别是确保任意 $q$ 个顶点的边不诱导出所有不同的颜色。
• 关键技巧是将彩虹 $K_q$ 的存在性与 $\mathbb{Z}_n$ 中的完美差集联系起来；若不存在此类集合，则着色中不存在彩虹 $K_q$。
• 论文使用Singer对大小为 $p^k + 1$ 的完美差集的构造，以及素数幂猜想，分析 $q$ 的密度使得 $d(n, K_q) = \infty$。
• 应用加法组合论的结果，特别是Peluse关于 $\mathbb{Z}_{q^2 - q + 1}$ 中完美差集存在的整数 $q$ 的密度的近期工作，推导出 $|S(N)|$ 的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有边数为 $\ell$ 的图 $F$ 及所有充分大的 $n \equiv 1 \pmod{\ell}}$，$d(n, F)$ 是否有限？
• RQ2 是否存在边数为 $\ell = \binom{q}{2}$ 的完全平衡边着色，使得 $K_n$ 中不包含彩虹 $K_q$？
• RQ3 对于 $\ell+1$ 种颜色，是否每个 $K_n$ 的完全平衡着色都包含所有边数为 $\ell$ 的图 $F$ 作为彩虹子图？
• RQ4 对于满足 $d(n, K_q) = \infty$ 的无穷多个 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 的整数 $q$，其渐近密度是多少？
• RQ5 在什么条件下，$K_n$ 的完全平衡着色可避免出现彩虹 $K_q$？

主要发现

• 本文证明了 $|S(N)| = N - (1 + o(1)) \frac{N}{\log N}$，意味着对几乎所有 $q \leq N$，存在任意大的 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$，使得 $K_n$ 存在 $\binom{q}{2}$ 种颜色的完全平衡着色且不包含彩虹 $K_q$，因此 $d(n, K_q) = \infty$。
• 对于满足 $q \geq 10$ 且 $q \equiv 2$ 或 $3 \pmod{4}$ 的 $q$，以及 $n = (\ell + 1)^k$（其中 $\ell = \binom{q}{2}$），存在一种 $K_n$ 的完全平衡着色，使用 $\ell$ 种颜色且不包含彩虹 $K_q$，从而证明了 $d(n, K_q) = \infty$。
• 对于满足 $q \geq 8$ 且 $q \equiv 0$ 或 $1 \pmod{4}$ 的 $q$，以及 $n = (\ell + 2)^k$（其中 $\ell = \binom{q}{2}$），存在一种 $K_n$ 的完全平衡着色，使用 $\ell + 1$ 种颜色且不包含彩虹 $K_q$，从而以否定方式回答了问题1.5。
• 在 $n = q^2 - q + 1$ 且使用 $\ell = \binom{q}{2}$ 种颜色的标准着色中，彩虹 $K_q$ 的存在性等价于 $\mathbb{Z}_n$ 中大小为 $q$ 的完美差集的存在性，而当 $q-1$ 不是素数幂时，该情况已知不成立。
• 本文证明了，当 $\mathbb{Z}_{q^2 - q + 1}$ 中不存在大小为 $q$ 的完美差集时，$d(n, K_q) = \infty$ 对无穷多个满足 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 的 $n$ 成立，而这种情况对所有满足 $q-1$ 不是素数幂的 $q$ 都成立。
• 作者确认，使得 $d(n, K_q) = \infty$ 对无穷多个满足 $n \equiv 1 \pmod{\binom{q}{2}}$ 的 $n$ 成立的整数 $q \leq N$ 的集合 $S(N)$ 的大小渐近为 $N - (1 + o(1)) \frac{N}{\log N}$，这意味着问题1.1答案为否定的 $q$ 的集合在 $\mathbb{N}$ 中是自然稠密的。