[论文解读] Ramanujan and Labos primes, their generalizations and classifications of primes

Vladimir Shevelev|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过与区间 (x, 2x) 中素数分布相关的对称性质，引入了广义的拉马努金素数和拉博斯素数，及其扩展形式 v-over-Ramanujan 和 v-over-Labos 素数。构建了两种筛法以识别这些素数，并提出了素数的 v-分类，其渐近密度猜想得到了启发式分析的支持，表明 v-伪拉马努金素数的比例随 v 增大而减小。

ABSTRACT

Considering Ramanujan primes and the symmetric to them so-called Labos primes, we study their parallel properties, we study all primes with these properties (generalized Ramanujan and Labos primes) and construct two kinds of sieves for them. Finally, we give a further natural generalization of these constructions and pose some conjectures and open problems.

研究动机与目标

• 通过基于对称素数分布性质的广义形式，扩展拉马努金素数与拉博斯素数的概念。
• 开发两种新颖的筛法算法，用于识别 v-over-Ramanujan 与 v-over-Labos 素数。
• 基于区间行为，将素数分类为 v-left、v-right、v-central 和 v-isolated 类型。
• 提出并利用启发式分析支持关于这些广义素数类渐近密度的猜想。
• 通过引入伪拉马努金素数与伪拉博斯素数，恢复拉马努金素数与拉博斯素数序列中缺失的对称结构，从而恢复素数序列的秩序。

提出的方法

• 通过条件引入 v-over-Ramanujan 与 v-over-Labos 素数：若 $ p_m < p/v < p_{m+1} $，则 $ (p, vp_{m+1}) $ 包含一个素数（拉马努金情形），或 $ (\lfloor vp_m \rfloor - \varepsilon, p) $ 包含一个素数（拉博斯情形）。
• 将 v-伪拉马努金素数与 v-伪拉博斯素数定义为满足对称条件但并非真正 v-Ramanujan 或 v-Labos 素数的素数。
• 构建第一种筛法，使用类似伯特兰序列的 $ b_v(n) $，递归定义为小于 $ \lceil v b_v(n-1) \rceil + \varepsilon $ 的最大素数。
• 构建第二种筛法，使用区间 $ (\lfloor kv \rfloor - \varepsilon, \lceil (k+1)v \rceil + \varepsilon) $，在每个区间中保留所有素数，但排除最后一个区间。
• 基于 $ p/v $ 相对于区间的包含关系，提出将素数分为 v-left、v-right、v-central 和 v-isolated 类型的 v-分类。
• 使用启发式论证推导各类素数的渐近密度公式，假设猜想 2 成立，即计数函数 $ \pi_{R_v'}(x) \sim \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 v-over-Ramanujan 素数在所有素数中的渐近密度是多少？其如何依赖于 v？
• RQ2 能否通过引入伪拉马努金素数与伪拉博斯素数，在拉马努金素数与拉博斯素数之间建立对称的素数分类？
• RQ3 随着 v 增大，v-left、v-right、v-central 与 v-isolated 素数的密度如何渐近变化？
• RQ4 v-伪拉马努金素数在 v-over-Ramanujan 素数中的比例是多少？其如何随 v 变化？
• RQ5 对于给定的 $ v > 1 $，v-伪拉马努金素数、v-central 素数与 v-isolated 素数的最小值是多少？

主要发现

• 广义拉马努金素数与拉博斯素数的序列满足 $ R'_v(1) \leq L'_v(1) \leq R'_v(2) \leq L'_v(2) \leq \cdots $，恢复了原始序列中失去的顺序。
• v-over-Ramanujan 素数的计数函数满足 $ \pi_{R_v'}(x) \sim \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $，其中 v-伪拉马努金素数在其中的比例为 $ \frac{v}{(v-1)e^v + 1} $。
• v-left 与 v-right 素数的密度渐近为 $ \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $，而 v-central 素数的密度为 $ \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)^2\pi(x) $。
• v-isolated 素数的密度为 $ \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{e^v - 1}\right)^2\pi(x) $，且四类密度之和等于 $ \pi(x) $，证实了分类的完备性。
• 对于较大的 $ v \ln p_n $，所有密度的渐近近似均应成立，且当 $ v \to \infty $ 时，v-伪拉马努金素数的比例趋于 0，而当 $ v \to 1^+ $ 时趋于 1。
• 基于区间 $ (\lfloor kv \rfloor - \varepsilon, \lceil (k+1)v \rceil + \varepsilon) $ 的筛法成功生成了 3-over-Ramanujan 素数序列，与 OEIS A164952 一致。