[论文解读] Ramification in Iwasawa modules

Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出一个互惠性猜想，将伊wasa对数域类群与有限域上曲线的雅可比簇之间的类比扩展至广义类群和伊wasa模中的分歧情形。该猜想表明，一个与莱普利希特猜想等价的分裂猜想蕴含了某些p进L函数的非零性，并证明了对于Q的全实伽罗瓦扩张，莱普利希特亏瑕δF,p不可能为1。

ABSTRACT

We study properties of ramification in Iwasawa modules.

研究动机与目标

• 将伊wasa对数域类群与有限域上曲线雅可比簇之间的类比，扩展至广义类群和分歧伊wasa模。
• 为伊wasa模中的分歧建立一个类似于代数几何中Ext-类公式的互惠性猜想。
• 表明一个与莱普利希特猜想等价的分裂猜想，可自然地从该互惠性框架中导出。
• 证明对于Q的全实伽罗瓦扩张F/Q，莱普利希特亏瑕δF,p不可能为1。
• 利用威勒斯对主猜想的证明和Hida的Λ-进希尔伯特模形式理论，为莱普利希特猜想提供一个判别准则。

提出的方法

• 引入广义类群和广义雅可比簇，作为伊wasa理论中零度除子的类比。
• 利用伊wasa已知的配对关系，定义伊wasa模中辅助素数处的分歧。
• 构造伽罗瓦群中关于弗罗贝尼乌斯元素支撑的零度除子类比。
• 利用伊wasa配对，将伽罗瓦上同调中的扩张类与分歧数据联系起来。
• 提出一个互惠性猜想（猜想5.5），将代数几何中的几何Ext-类公式推广至伊wasa模。
• 利用上同调与伽罗瓦理论技术，证明一个分裂猜想（猜想5.6）与莱普利希特猜想等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 伊wasa对类群与雅可比簇之间的类比，能否扩展至广义类群和分歧伊wasa模？
• RQ2 伊wasa理论中是否存在一个类似于广义雅可比簇Ext-类公式的互惠律？
• RQ3 所猜想的互惠性是否蕴含一个与莱普利希特猜想等价的分裂条件？
• RQ4 对于Q的全实伽罗瓦扩张F/Q与奇素数p，莱普利希特亏瑕δF,p是否可能为1？
• RQ5 能否利用威勒斯对主猜想的证明和Hida的Λ-进希尔伯特模形式理论，通过此框架逼近莱普利希特猜想？

主要发现

• 互惠性猜想（猜想5.5）被表述为广义雅可比簇的Ext-类公式在伊wasa模中的类比。
• 分裂猜想（猜想5.6）被证明与莱普利希特猜想等价（定理6.5）。
• 本文证明了对于任意Q的全实伽罗瓦扩张F/Q与奇素数p，莱普利希特亏瑕δF,p不可能为1（命题10.1）。
• 该证明依赖于伽罗瓦上同调，以及复合Zp-扩张的伽罗瓦群中秩为2的Zp-自由模的结构。
• 若对维数≥2的非交换表示χ，莱普利希特猜想不成立，则p进L函数LQ,p(1,χ)必为零。
• 上同调论证利用了H2中限制映射的单射性与Mittag-Leffler性质，以在Sylow子群中消去上同调类。