[论文解读] Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs

Zhao Wang, Yaping Mao+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文確定了兩類單環圖的2色拉姆齊數——星圖加一條邊形成三角形，以及路徑圖在一端加上三角形——並利用這些結果為其蓋萊-拉姆齊數建立緊緻的上下界。主要貢獻在於對蓋萊-著色的結構分析，結合簡化圖與遞迴界，推導出在避免彩虹三角形的背景下，這些拉姆齊類數的精確或近似精確值。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a positive integer $k$, define the \emph{Gallai-Ramsey number} to be the minimum number of vertices $n$ such that any $k$-edge coloring of $K_n$ contains either a rainbow (all different colored) triangle or a monochromatic copy of $G$. In this paper, we consider two classes of unicyclic graphs, the star with an extra edge and the path with a triangle at one end. We provide the $2$-color Ramsey numbers for these two classes of graphs and use these to obtain general upper and lower bounds on the Gallai-Ramsey numbers.

研究动机与目标

• 確定兩類特定單環圖的2色拉姆齊數：星圖加一條邊形成三角形，以及在末端加上三角形的路徑圖。
• 分析避免彩虹三角形的完全圖的蓋萊-著色，利用蓋萊劃分與簡化圖的結構。
• 透過已知結果與遞迴不等式，推導這些單環圖的蓋萊-拉姆齊數的一般上下界。
• 確立這些非二分圖單環圖的蓋萊-拉姆齊數隨顏色數量線性增長，與非二分圖的指數增長形成對比。

提出的方法

• 使用定理1（蓋萊劃分定理）將蓋萊-著色的完全圖分解為非平凡劃分，且部分之間最多使用兩種顏色。
• 應用簡化圖的概念——透過在蓋萊劃分的每一部分中選取一個頂點所形成的2色完全圖——以分析全局顏色結構。
• 運用[13]中的引理1，透過較小蓋萊-拉姆齊數的遞迴界，限制避免單色目標圖副本的子圖大小。
• 在遞迴分析中，以已知的圈圖拉姆齊數（定理3）與偶圈圖的界（定理4）作為基礎工具。
• 基於蓋萊劃分中的部分數量與部分間邊的顏色分佈，進行案例分析，當假設存在大型單色子圖時導出矛盾。
• 應用狄拉克定理於稠密圖中的哈密頓圈，以證明紅色或藍色子圖中存在長路徑或圈，進而產生目標圖的單色副本。

实验结果

研究问题

• RQ1 添加一條邊使星圖形成三角形的單環圖，其2色拉姆齊數為何？
• RQ2 隨著顏色數量增加，此星圖加邊圖的蓋萊-拉姆齊數行為如何？
• RQ3 添加一條邊使路徑圖第一個與第三個頂點形成三角形的單環圖，其2色拉姆齊數為何？
• RQ4 與其他單環圖相比，特別是在二分圖與非二分圖的二分對比下，路徑加三角形圖的蓋萊-拉姆齊數表現為何？
• RQ5 能否透過遞迴劃分與結構約束，為這些圖的蓋萊-拉姆齊數建立緊緻的上下界？

主要发现

• 確定了星圖加一條邊形成三角形的2色拉姆齊數，為遞迴蓋萊-拉姆齊分析提供了基底案例。
• 確立了在末端加上三角形的路徑圖的2色拉姆齊數，進而可推導更高顏色數的蓋萊-拉姆齊數界。
• 證明這兩類圖的蓋萊-拉姆齊數隨顏色數量線性增長，與二分圖的行為一致。
• 本文透過反證法，利用引理1與蓋萊劃分的結構約束，證明 $ gr_k(K_3; H) < n_k $，其中 $ n_k $ 為遞迴定義的界。
• 若一蓋萊-著色避免單色目標圖副本，則頂點數被上界限制於 $ gr_{k-1}(K_3; H) - 1 $，進而導出遞迴不等式。
• 在 $ k=3 $ 時，分析顯示若無單色 $ P_t^+ $，則部分大小受限，並透過紅色或藍色子圖中哈密頓圈的存在導出矛盾。