[论文解读] Ramsey numbers for partially ordered sets

Christian Winter|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Advanced Topology and Set Theory被引用 1

一句话总结

本论文针对固定的偏序集 P 和增长的布尔格 Qn，建立了对偶序集 Ramsey 数 R(P, Qn) 的渐近紧致界，引入了新颖的概率构造方法与基于阻断器的分析方法。论文证明了当 P 包含 V2 或 Λ2 时，其渐近行为存在二分性，且首次给出了 R(Qn, Qn) 的线性下界（2.02^n）与超线性上界（n² − (1−o(1))n log n）。

ABSTRACT

The main objective of Ramsey theory is to investigate the largest monochromatic substructure guaranteed in any coloring of a given discrete host structure. Examples for such substructures are subgraphs hosted in a complete graph or arithmetic progressions in the natural numbers. In this thesis, we present quantitative Ramsey-type results in the setting of finite sets that are equipped with a partial order, so-called posets. A prominent example of a poset is the Boolean lattice $Q_n$, which consists of all subsets of $\{1,\dots,n\}$, ordered by inclusion. For posets $P$ and $Q$, the poset Ramsey number $R(P,Q)$ is the smallest $N$ such that no matter how the elements of $Q_N$ are colored in blue and red, there is either an induced subposet isomorphic to $P$ in which every element is colored blue, or an induced subposet isomorphic to $Q$ in which every element is colored red. The central focus of this thesis is to investigate $R(P,Q_n)$, where $P$ is fixed and $n$ grows large. Our results contribute to an active area of discrete mathematics, which studies the existence of large homogeneous substructures in host structures with local constraints, introduced for graphs by Erd\H{o}s and Hajnal. We provide an asymptotically tight bound on $R(P,Q_n)$ for $P$ from several classes of posets, and show a dichotomy in the asymptotic behavior of $R(P,Q_n)$, depending on whether $P$ contains a subposet isomorphic to one of two specific posets. A fundamental question in the study of poset Ramsey numbers is to determine the asymptotic behavior of $R(Q_n,Q_n)$ for large $n$. In this dissertation, we present improvements on the known lower and upper bound on $R(Q_n,Q_n)$. Moreover, we explore variations of the poset Ramsey setting, including Erd\H{o}s-Hajnal-type questions when the small forbidden poset has a non-monochromatic color pattern, and so-called weak poset Ramsey numbers, which are concerned with non-induced subposets.

研究动机与目标

• 确定当 n 很大时，对于固定的偏序集 P，R(P, Qn) 的渐近行为。
• 解决 Ramsey 增长的二分性问题，取决于 P 是否包含 V2 或 Λ2 作为子偏序集。
• 改进对角 Ramsey 数 R(Qn, Qn) 的最佳已知下界与上界。
• 探索 poset Ramsey 问题的变体，包括弱 Ramsey 数与 Erdős-Hajnal 型设定。
• 提出猜想：对所有固定的 P，有 R(Qn, Qn) = O(n^{1+o(1)}) 且 R(P, Qn) = n + o(n)。

提出的方法

• 扩展了链引理，并引入一种新的基于阻断器的方法以获得下界。
• 通过并行阶乘树的概率构造，实现了对 R(Qn, Qn) 下界的线性改进。
• 改进了 Blob 引理，以推导出 R(Qn, Qn) 的超线性上界。
• 应用同态与嵌入技术，刻画不含 V2 或 Λ2 子偏序集的偏序集。
• 利用 Y-链与框架分解分析诱导子偏序集结构。
• 引入弱 poset Ramsey 数，并研究非诱导子偏序集。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n → ∞ 时，对于固定的偏序集 P，R(P, Qn) 的渐近行为是什么？
• RQ2 若 P 包含 V2 或 Λ2 作为子偏序集，是否会导致 R(P, Qn) 增长率的急剧转变？
• RQ3 R(Qn, Qn) 是否能被一个关于 n 的超多项式函数从下方界定？
• RQ4 R(Qn, Qn) 是否能在线性上超越平凡下界 2^n？
• RQ5 弱 poset Ramsey 数 Rw(Qn, Qn) 与标准 R(Qn, Qn) 之间有何关系？

主要发现

• 对于任意不包含 V2 或 Λ2 的固定偏序集 P，有 R(P, Qn) ≤ n + c(P)，表明其呈线性增长。
• 若 P 包含 V2 或 Λ2，则 R(P, Qn) ≥ n + n/(15 log n)，表明存在超线性下界。
• 首次建立了对平凡下界 2^n 的线性改进：R(Qn, Qn) ≥ 2.02^n + o(1)。
• 首次实现了对基本上界的超线性改进：R(Qn, Qn) ≤ n² − (1−o(1))n log n。
• 提出新猜想：R(Qn, Qn) = O(n^{1+o(1)})，暗示其为次二次增长。
• poset Erdős-Hajnal 数 ˜R(˙P, Qn) 在平凡界上实现了线性改进，证实了相关猜想。