[论文解读] Ran-Reurings theorems in ordered metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了有序度量空间中的Ran-Reurings不动点定理是Maia于1968年提出的不动点结果的一个特例。通过引入一个函数度量 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $，作者表明 $ (d,\leq) $-压缩条件蕴含 $ e $-压缩性，从而可应用Maia的定理。其主要贡献在于将Ran-Reurings的结果统一于Maia的框架下，并进一步推广至拟序收敛几乎度量空间及函数形式的结果。

ABSTRACT

The Ran-Reurings fixed point theorem [Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2004), 1435-1443] is but a particular case of Maia's [Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 40 (1968), 139-143]. A "functional" version of this last result is then provided, in a convergence-metric setting.

研究动机与目标

• 阐明Ran-Reurings不动点定理与Maia早期结果之间的基础关系。
• 证明在有序度量空间的背景下，Ran-Reurings定理可被Maia不动点定理所涵盖。
• 将Maia的结果推广至拟序收敛几乎度量空间及函数设定。
• 通过基于级数的度量 $ e(x,y) $ 提供不动点结果的函数形式，该度量使 $ d $ 处于从属地位并确保 $ e $-压缩性。
• 在更弱条件下（包括连续性与序完备性）恢复并推广Ran-Reurings定理。

提出的方法

• 为 $ \lambda \in (1, 1/\alpha) $ 定义一个新的度量 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $，其中 $ \alpha \in (0,1) $ 是 $ (d,\leq) $-压缩条件中的压缩常数。
• 证明 $ e $ 是在 $ X \times X $ 上定义良好、对称且满足三角不等式的度量，且 $ d $ 被 $ e $ 从属。
• 证明 $ T $ 关于 $ e $ 是压缩的，压缩常数为 $ \alpha \lambda < 1 $，因此满足Maia不动点定理的假设条件。
• 利用任意两点间存在 $ <> $-链（通过条件 (b03)）的性质，将 $ d(T^n x, T^n y) $ 有界于几何级数，从而保证 $ e(x,y) $ 的收敛性。
• 建立在 $ d $-完备性与 $ T $ 的 $ d $-连续性，结合 $ e $-压缩性与从属性，可推出 $ T $ 是模 $ d $ 的Picard算子。
• 通过在函数 $ f \in \mathcal{F}_i(R_+^{2n(x)+1}) $ 上引入条件 (e10) 与 (e11)，将结果推广至拟序空间，并在拟序完备性与自闭性条件下证明不动点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ran-Reurings不动点定理是否是度量空间中更一般不动点结果的一个特例？
• RQ2 能否通过适当的度量变换，从Maia 1968年的不动点定理推导出Ran-Reurings定理？
• RQ3 何种函数度量构造可确保 $ (d,\leq) $-压缩性蕴含新度量 $ e $ 的 $ e $-压缩性？
• RQ4 如何将Maia的不动点定理推广至拟序空间与收敛度量空间？
• RQ5 在 $ T $ 在左侧不连续或 $ \leq $ 不是区间闭合时，何种条件下，映射 $ T $ 在拟序度量空间上具有唯一不动点？

主要发现

• Ran-Reurings不动点定理可通过构造函数度量 $ e(x,y) = \sum_{n \geq 0} \lambda^n d(T^n x, T^n y) $，从Maia 1968年的不动点定理中形式化推导得出。
• 度量 $ e $ 是定义良好、对称、满足三角不等式，且满足 $ d(x,y) \leq e(x,y) $，从而确保 $ d $-从属性。
• 自映射 $ T $ 关于 $ e $ 是压缩的，压缩常数 $ \alpha \lambda < 1 $，因此Maia定理适用，从而得出 $ T $ 是模 $ d $ 的Picard算子。
• Ran-Reurings原始定理中的正则性条件 (a03) 是冗余的，因为它由 $ <> $-链的存在性（条件 (b03)）所蕴含。
• 在条件 (e10) 与 (e11) 下，结果可推广至拟序度量空间，这些条件对非连续映射的压缩行为进行了推广。
• 通过函数 $ f \in \mathcal{F}_i(R_+^{2n(x)+1}) $ 建立了不动点结果的函数形式，且定理9表明线性函数 $ f(t) = \alpha t $（其中 $ \alpha \in (0,1) $）是正规的，因此在更弱假设下恢复了Ran-Reurings结果。