[论文解读] Random attractor of the 3D viscous primitive equations driven by fractional noises

Guoli Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文在非周期边界条件下，通过无限维分数布朗运动驱动，建立了三维黏性原始方程随机吸引子（强吸引子）的存在性。作者提出一种基于解算子紧性与有界吸收集存在的新方法，克服了传统Sobolev嵌入技术在高正则性空间中的局限性，为耗散型随机偏微分方程提供了一般性框架。

ABSTRACT

We develop a new and general method to prove the the existence of the random attractor (strong attractor) for the primitive equations (PEs) of large-scale ocean and atmosphere dynamics under $non$-$periodic$ boundary conditions and driven by infinite-dimensional additive fractional Wiener processes. In contrast to our new method, the common method, compact Sobolev embedding theorem, is to obtain the uniform $a$ $priori$ estimates in some Sobolev space whose regularity is high enough. But this is very complicated for the 3D stochastic PEs with the $non$-$periodic$ boundary conditions. Therefore, the existence of universal attractor ( weak attractor) was established in previous work. The main idea of our method is that we first derive that $\mathbb{P}$-almost surely the solution operator of stochastic PEs is compact. Then we construct a compact absorbing set by virtue of the compact property of the the solution operator and the existence of a absorbing set. We should point out that our method has some advantages over the common method of using compact Sobolev embedding theorem, i.e., if the random attractor in some Sobolev space do exist in view of the common method, our method would then further implies the existence of random attractor in this space. The present work provides a general way for proving the existence of random attractor for common classes of dissipative stochastic partial differential equations and improves the existing results concerning random attractor of stochastic PEs. In a forth coming paper, we use this new method to prove the existence of strong attractor for the stochastic moist primitive equations, improving the results, the existence of weak (universal) attractor of the deterministic model.

研究动机与目标

• 在非周期边界条件下，建立三维黏性原始方程随机吸引子（强吸引子）的存在性。
• 克服在非周期边界条件下，对三维随机原始方程应用紧致Sobolev嵌入定理于高正则性空间时的技术挑战。
• 为一大类耗散型随机偏微分方程发展一种通用方法。
• 改进以往仅在确定性设定下证明弱（通用）吸引子存在性的结果。
• 为证明更复杂模型（如随机湿原始方程）中强吸引子的存在性奠定基础。

提出的方法

• 提出一种新方法，通过首先证明解算子P-几乎必然紧致，来证明随机吸引子的存在性。
• 结合解算子的紧致性与有界吸收集的存在性，构造出紧致吸收集。
• 以基于解算子内在紧致性的动力系统论证，替代依赖于紧致Sobolev嵌入的标准方法。
• 将该方法应用于由无限维分数布朗运动（Hurst参数H > 1/2）驱动的三维随机原始方程。
• 利用能量估计与Gronwall型不等式，获得速度场与温度场在H^1与H^2范数下的统一先验界。
• 运用Minkowski不等式、Hölder不等式、插值不等式与Sobolev嵌入，控制能量估计中的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分数噪声驱动下，非周期边界条件的三维黏性原始方程是否可能存在强（随机）吸引子？
• RQ2 是否可能在不依赖高正则性空间中紧致Sobolev嵌入的前提下，证明随机吸引子的存在性？
• RQ3 当经典方法与本方法均可适用时，所提方法是否能获得更强的结果？
• RQ4 该方法能否推广至其他类耗散型随机PDE？
• RQ5 具有分数噪声的随机原始方程的长时间动力学，其正则性与紧致性结构如何？

主要发现

• 三维随机原始方程的解算子P-几乎必然紧致，从而可构造出紧致吸收集。
• 在相空间H^1 × H^1中，非周期边界条件下三维黏性原始方程存在随机吸引子（强吸引子）。
• 该方法确保在经典方法基于紧致Sobolev嵌入也适用的Sobolev空间中，随机吸引子的存在性，且具有更强的动力学含义。
• 对速度场与温度场在H^1与H^2范数下建立了统一先验估计，且对所有ω在全测度集上一致成立。
• 通过解算子的紧致性与有界吸收集存在的相互作用，证明了紧致吸收集的存在性。
• 结果对参数选择具有鲁棒性，即使ν_i = μ_i = 1时方法依然适用，且对其他参数值的推广亦显而易见。