[论文解读] Random band matrices in the delocalized phase, I: Quantum unique ergodicity and universality

Paul Bourgade, Horng‐Tzer Yau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用 22

一句话总结

本论文在带宽 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 的大一维随机带状矩阵中建立了普遍性和量子唯一遍历性，将平均场约化方法推广至该参数范围。证明了在尺度 $N^{-1+\varepsilon}$ 下的半圆律，局部特征值统计收敛至 GOE，特征向量在 $L^\infty$ 范数下满足 $\leq N^{-1/2+\varepsilon}$ 的去局域化，且局部 $L^2$ 质量以高概率均匀分布。

ABSTRACT

Consider $N imes N$ symmetric one-dimensional random band matrices with general distribution of the entries and band width $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ for any $\varepsilon>0$. In the bulk of the spectrum and in the large $N$ limit, we obtain the following results. (i) The semicircle law holds up to the scale $N^{-1+\varepsilon}$ for any $\varepsilon>0$. (ii) The eigenvalues locally converge to the point process given by the Gaussian orthogonal ensemble at any fixed energy. (iii) All eigenvectors are delocalized, meaning their ${ m L}^\infty$ norms are all simultaneously bounded by $N^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}$ (after normalization in ${ m L}^2$) with overwhelming probability, for any $\varepsilon>0$. (iv )Quantum unique ergodicity holds, in the sense that the local ${ m L}^2$ mass of eigenvectors becomes equidistributed with overwhelming probability. We extend the mean-field reduction method \cite{BouErdYauYin2017}, which required $W=Ω(N)$, to the current setting $W \ge N^{3/4+\varepsilon}$. Two new ideas are: (1) A new estimate on the "generalized resolvent" of band matrices when $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$. Its proof, along with an improved fluctuation average estimate, will be presented in parts 2 and 3 of this series \cite {BouYanYauYin2018,YanYin2018}. (2) A strong (high probability) version of the quantum unique ergodicity property of random matrices. For its proof, we construct perfect matching observables of eigenvector overlaps and show they satisfying the eigenvector moment flow equation \cite{BouYau2017} under the matrix Brownian motions.

研究动机与目标

• 在带宽 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 的一维随机带状矩阵的去局域相中，建立局部特征值统计的普遍性。
• 证明特征向量的量子唯一遍历性（QUE），即局部 $L^2$ 质量以高概率均匀分布。
• 将此前仅适用于 $W = \Omega(N)$ 的平均场约化方法，推广至 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 的参数范围。
• 在该参数范围内，发展对广义 resolvent 的新估计，并改进带状矩阵的波动平均。

提出的方法

• 将平均场约化方法适配至带宽满足 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 的带状矩阵，依赖于概率性量子唯一遍历性作为更强的去局域化条件。
• 在 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 范围内，为带状矩阵引入广义 resolvent 的新估计，对控制谱统计至关重要。
• 通过构造特征向量重叠的完美匹配可观测量，发展了量子唯一遍历性的强高概率版本。
• 在矩阵布朗运动下应用特征向量矩流方程，以分析特征向量统计并证明质量均匀分布。
• 采用比较方法建立普遍性，该方法已适配于带状矩阵的稀疏结构，而标准比较技术在此失效。
• 整合改进的波动平均估计，这是广义 resolvent 控制的基础，将在系列论文的后续部分详细阐述。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于带宽满足 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 的随机带状矩阵，半圆律是否在尺度 $N^{-1+\varepsilon}$ 下成立？
• RQ2 在谱体部，此类矩阵的局部特征值统计是否收敛至高斯正交系族（GOE）？
• RQ3 所有特征向量是否以高概率满足 $\|\psi\|_{L^\infty} \leq N^{-1/2+\varepsilon}$ 的去局域化？
• RQ4 量子唯一遍历性是否成立，即特征向量的局部 $L^2$ 质量是否在系统中均匀分布？
• RQ5 平均场约化方法能否推广至带宽满足 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 的带状矩阵，其中 $W$ 相对于 $N$ 为次线性？

主要发现

• 对于任意 $\varepsilon > 0$，在 $N \times N$ 对称随机带状矩阵（带宽 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$）的谱体部，半圆律在尺度 $N^{-1+\varepsilon}$ 下成立。
• 在体部任意固定能量处，局部特征值统计收敛至 GOE 点过程，证实了普遍性。
• 所有特征向量均为去局域化：其 $L^\infty$ 范数以高概率满足 $\leq N^{-1/2+\varepsilon}$。
• 量子唯一遍历性成立：特征向量的局部 $L^2$ 质量以高概率在系统中均匀分布。
• 平均场约化方法已成功推广至 $W \geq N^{3/4+\varepsilon}$ 范围，使得在该非平均场设置下能够证明普遍性。
• 建立了新的广义 resolvent 估计与改进的波动平均，构成分析的基础，将在系列论文的后续部分详细阐述。