[论文解读] Random band matrices in the delocalized phase, III: Averaging fluctuations

Fan Yang, Jun Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文在 $d$-维晶格上对具有中等带宽 $W$ 的随机带状矩阵建立了关于 resolvent 多项式平均波动的高概率界，其中满足 $1 \ll W \ll N$。利用此波动平均结果，本文在条件 $N \leq W^{1 + d/2}$ 下证明了当 $d \geq 2$ 时体态本征向量的去局域化，超越了以往的界限，完成了向体态普适性和带状矩阵模型中去局域化关键步骤的推进。

ABSTRACT

We consider a general class of symmetric or Hermitian random band matrices $H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N rbracket^d}$ in any dimension $d\ge 1$, where the entries are independent, centered random variables with variances $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$. We assume that $s_{xy}$ vanishes if $|x-y|$ exceeds the band width $W$, and we are interested in the mesoscopic scale with $1\ll W\ll N$. Define the {\it{generalized resolvent}} of $H$ as $G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$, where $Z$ is a deterministic diagonal matrix with entries $Z_{xx}\in \mathbb C_+$ for all $x$. Then we establish a precise high-probability bound on certain averages of polynomials of the resolvent entries. As an application of this fluctuation averaging result, we give a self-contained proof for the delocalization of random band matrices in dimensions $d\ge 2$. More precisely, for any fixed $d\ge 2$, we prove that the bulk eigenvectors of $H$ are delocalized in certain averaged sense if $N\le W^{1+\frac{d}{2}}$. This improves the corresponding results in \cite{HeMa2018} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$, and in \cite{ErdKno2013,ErdKno2011} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{6}}$. For 1D random band matrices, our fluctuation averaging result was used in \cite{PartII,PartI} to prove the delocalization conjecture and bulk universality for random band matrices with $N\ll W^{4/3}$.

研究动机与目标

• 建立随机带状矩阵中 resolvent 项多项式平均波动的精确高概率界。
• 为 $d \geq 2$ 维度下去局域化相中本征向量去局域化的证明提供一个自完备的推导。
• 在 [ErdKno2013]、[ErdKno2011] 和 [HeMa2018] 的先前结果基础上，改进已知的去局域化阈值。
• 在 $N \ll W^{4/3}$ 条件下，基于 [PartI] 和 [PartII] 的前期工作，完成一维随机带状矩阵模型中去局域化猜想与体态普适性的证明。

提出的方法

• 分析对称或厄米特随机带状矩阵的广义 resolvent $G(H,Z) = (H - Z)^{-1}$，其方差分布 $s_{xy} = \mathbb{E}|h_{xy}|^2$ 随距离 $|x - y|$ 衰减。
• 应用图形展开方法，将 resolvent 乘积分解为带色与不带色的图，追踪依赖关系与误差项。
• 通过条件期望 $\mathbb{E}_x$ 和 $Q_x$ 的递归分解，控制 resolvent 项的波动。
• 采用一种新颖的波动平均机制，将差值 $\dot{G}_{xy}\ddot{G}_{xy'} - Q_x(\dot{G}_{xy}\ddot{G}_{xy'})$ 的界控制在 $\prec N^{-D}$ 误差范围内。
• 依赖详细的图形演算，表示并界定了各类项（包括 $\mathcal{B}_x$ 和 $\mathcal{B}_w$）的贡献。
• 证明所有相关图均可表示为具有受控权重与支撑的无色图 $\mathcal{G}_\kappa$，满足所需的衰减与结构条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有中等带宽 $W$ 的 $d$-维随机带状矩阵中，本征向量去局域化的精确阈值是什么？
• RQ2 在非 i.i.d. 方差分布和长程相关性的存在下，如何控制 resolvent 多项式波动？
• RQ3 波动平均机制能否在比以往工作更弱的假设下被严格应用，以推导出去局域化结果？
• RQ4 在 $d \geq 2$ 维中，$W$ 相对于 $N$ 的最优标度是什么，以确保去局域化？
• RQ5 resolvent 展开的图形方法如何实现去局域化与普适性的自完备证明？

主要发现

• 建立了 resolvent 多项式平均波动的高概率界，其误差可控制在 $\prec N^{-D}$ 范围内，对任意 $D > 0$ 成立。
• 当 $d \geq 2$ 时，在条件 $N \leq W^{1 + d/2}$ 下，体态本征向量被证明在平均意义下是去局域化的，优于以往的界限。
• 该结果改进了 [HeMa2018]（其要求 $N \ll W^{1 + d/(d+1)}$）和 [ErdKno2013, ErdKno2011]（其要求 $N \ll W^{1 + d/6}$）。
• 波动平均机制被严格应用于解决一维带状矩阵中长期存在的去局域化猜想，在 $N \ll W^{4/3}$ 条件下完成该系列工作的证明。
• resolvent 项的图形表示使得复杂波动可系统性地分解为具有受控衰减与支撑的可管理分量。
• 证明表明，所有相关误差项均可表示为无色图 $\mathcal{G}_\kappa$ 的和，其系数衰减为 $O((W^{-d})^{\#\text{ of }\alpha\text{ atoms}})$，从而确保可积性与衰减。