[论文解读] Random Bistochastic Matrices

Valerio Cappellini, H.-J. Sommers+2 more|ArXiv.org|Nov 21, 2007

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过分析随机随机矩阵经Sinkhorn算法诱导的概率分布，研究了随机双随机矩阵。对于N=2，推导出显式公式，并构建了一个初始Dirichlet系综，使其在Birkhoff多面体中心附近呈现局部平坦分布，从而实现与渐近结果一致的体积估计。

ABSTRACT

Ensembles of random stochastic and bistochastic matrices are investigated. While all columns of a random stochastic matrix can be chosen independently, the rows and columns of a bistochastic matrix have to be correlated. We evaluate the probability measure induced into the Birkhoff polytope of bistochastic matrices by applying the Sinkhorn algorithm to a given ensemble of random stochastic matrices. For matrices of order N=2 we derive explicit formulae for the probability distributions induced by random stochastic matrices with columns distributed according to the Dirichlet distribution. For arbitrary $N$ we construct an initial ensemble of stochastic matrices which allows one to generate random bistochastic matrices according to a distribution locally flat at the center of the Birkhoff polytope. The value of the probability density at this point enables us to obtain an estimation of the volume of the Birkhoff polytope, consistent with recent asymptotic results.

研究动机与目标

• 理解当对随机随机矩阵应用Sinkhorn算法时，在Birkhoff多面体上诱导出的概率测度。
• 构建一个随机矩阵的初始系综，使得生成的双随机矩阵在Birkhoff多面体中心附近呈均匀分布（局部平坦）。
• 利用中心处的概率密度估计Birkhoff多面体的体积，结果与近期渐近结果一致。
• 分析中心附近的高阶矩，特别是对均匀性的三阶修正项。

提出的方法

• 应用Sinkhorn算法——通过交替进行行归一化和列归一化——将随机随机矩阵转换为双随机矩阵。
• 使用Dirichlet分布作为随机矩阵初始列分布，参数为s，以生成初始系综。
• 推导输出双随机矩阵概率密度的隐式公式（公式36），其表达式以初始Dirichlet参数表示。
• 对Birkhoff多面体中心附近的概率密度进行幂级数展开，展开至三阶。
• 识别出特定Dirichlet参数s = σ/N，使得二阶项c₂消失，从而在中心附近最小化曲率。
• 显式计算三阶系数c₃，并证明其非零，表明即使c₂ = 0，分布仍存在固有非对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对列服从Dirichlet分布的随机随机矩阵应用Sinkhorn算法时，Birkhoff多面体上会生成何种概率分布？
• RQ2 能否选择一个初始Dirichlet系综，使得输出分布在Birkhoff多面体中心附近呈局部平坦？
• RQ3 Birkhoff多面体中心处的概率密度值是多少？其与多面体体积有何关系？
• RQ4 高阶矩（特别是三阶项）如何影响中心附近分布的局部形状？
• RQ5 在尝试实现三阶均匀性时，分布的非对称性尺度是多少？

主要发现

• 对于N=2，本文推导出从Dirichlet分布随机矩阵生成的双随机矩阵概率分布的显式闭式表达式。
• Birkhoff多面体中心处的概率密度为P*ₙ，可用于估计多面体体积，结果与Canfield和McKay的渐近结果一致。
• 当Dirichlet参数设为s = σ/N（其中σ = Ns）时，概率密度展开中的二阶系数c₂消失，从而在中心附近最小化曲率。
• 即使c₂ = 0，三阶系数c₃仍非零，表明分布无法在三阶内实现完全平坦化。
• 分布的非对称性尺度为δB ∝ N⁻¹ᐟ³，意味着偏离均匀性的偏差仅在大于该尺度的距离上可见。
• 三阶展开表明，主导非对称性项的尺度为∑(δBₚq)³，其系数为c₃ = N/3 + 1/N − 4/(3N³) + O(N⁻⁵)，证实中心附近存在持续的非高斯特征。