[论文解读] Random chords and point distances in regular polygons

Uwe Bäsel|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文使用初等几何方法推导任意正多边形的弦长分布函数，避免使用狄拉克δ函数等高级工具。进一步建立了此类多边形内两个独立均匀随机点之间距离的概率密度函数与累积分布函数——提供精确的、分段定义的公式，且情形区分极少，已针对等边三角形及其他正多边形进行验证。

ABSTRACT

In this paper we obtain the chord length distribution function for any regular polygon. From this function we conclude the density function and the distribution function of the distance between two uniformly and independently distributed random points in the regular polygon. The method to calculate the chord length distribution function is quite different from those of Harutyunyan and Ohanyan, uses only elementary methods and provides the result with only a few natural case distinctions.

研究动机与目标

• 开发一种简单、初等的方法，用于计算正多边形中的弦长分布函数，避免使用复杂的积分变换或狄拉克δ函数。
• 推导任意正多边形内两个独立且均匀随机点之间距离的概率密度函数与累积分布函数。
• 提供这些分布的显式、分段定义的公式，情形区分极少，以增强计算可及性。
• 将该方法扩展至不规则及非凸多边形，仅需小幅修改，如先前工作中所展示。
• 通过特定情形的精确解析表达式验证结果，例如等边三角形，其结果与已知预期一致。

提出的方法

• 使用平面中与运动不变性相关的直线测度，以原点距离 $ p $ 和角度 $ \theta $ 为参数，定义与多边形相交的直线集合。
• 通过公式 $ F(s) = 1 - \frac{1}{u} \mu(\{g: |\chi(g)| > s\}) $ 表达弦长分布函数，即产生长度大于给定值 $ s $ 的弦的直线测度。
• 通过在所有角度 $ \phi \in [0, \pi) $ 上积分得到弦长为 $ s $ 的两条平行极端直线到原点的距离之和，计算测度 $ \mu(\mathcal{S}(g,s)) $。
• 基于相隔 $ k $ 步的边对提出几何分解，定义临界距离 $ \ell_k $，并在区间 $ [\ell_k, \ell_{k+1}) $ 上进行分段积分。
• 采用初等积分技巧，包括含 $ t^2 $、$ \ln t $ 和 $ \arcsin(a/t) $ 表达式的反导数，计算累积分布函数。
• 通过对累积分布函数求导，推导出最终的密度函数 $ g(t) $，并给出不同距离区间的显式分段表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 正多边形中弦长的精确分布是什么？如何在不依赖高级分布理论的前提下进行计算？
• RQ2 如何解析推导正多边形内两个均匀随机点之间距离的概率密度函数？
• RQ3 哪些关键的几何与代数要素使得这些分布能够以最小情形区分、初等方法推导？
• RQ4 所推导的等边三角形公式与文献中已知结果相比如何？
• RQ5 该方法能否通过小幅修改推广至非凸或不规则多边形？

主要发现

• 仅使用初等几何与积分，推导出任意正 $ n $-边形的弦长分布函数，仅涉及少数自然的情形区分。
• 对于外接圆半径为 $ r $ 的等边三角形，距离密度函数 $ g(t) $ 以显式分段形式给出，其闭式表达式包含 $ \arcsin $、对数与多项式项。
• 在等边三角形中，两个随机点间距离的期望值为 $ \mathrm{E}[t] = \frac{\sqrt{3}}{20} r (4 + 3\ln 3) $，与文献 [15, p.49] 中已知结果一致。
• 对于边长为 $ a $ 的三角形，期望距离为 $ \mathrm{E}[t] = \frac{a}{20} (4 + 3\ln 3) $，与先前文献结果一致。
• 该方法为正多边形中的距离分布提供了精确的解析表达式，包括 $ \mathcal{P}_{7,1} $、$ \mathcal{P}_{8,1} $ 和 $ \mathcal{P}_{10,1} $，如论文图示所示。
• 该方法可通过小幅调整推广至不规则及非凸多边形，相关工作已予以演示。