[论文解读] Random colourings of aperiodic graphs: Ergodic and spectral properties

Peter Müller, Christoph Richard|ArXiv.org|Sep 6, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文研究了在欧氏空间中非周期性、均匀离散图的键渗流子图上，图拉普拉斯算子在谱的下端的 Lifshits 尾部行为。通过为随机着色图构造遍历动力系统，证明遍历定理，并在小键概率下展示簇大小分布的指数衰减，作者们证明了谱的非随机性以及积分密度的自平均性，最终在基图的几何性质满足温和假设的条件下，推导出 Lifshits 尾部渐近行为。

ABSTRACT

We study randomly coloured graphs embedded into Euclidean space, whose vertex sets are infinite, uniformly discrete subsets of finite local complexity. We construct the appropriate ergodic dynamical systems, explicitly characterise ergodic measures, and prove an ergodic theorem. For covariant operators of finite range defined on those graphs, we show the existence and self-averaging of the integrated density of states, as well as the non-randomness of the spectrum. Our main result establishes Lifshits tails at the lower spectral edge of the graph Laplacian on bond percolation subgraphs, for sufficiently small probabilities. Among other assumptions, its proof requires exponential decay of the cluster-size distribution for percolation on rather general graphs.

研究动机与目标

• 将遍历理论与谱理论推广至具有有限局部复杂度的随机着色非周期图。
• 在具有有限范围协变算子的此类图上，建立积分密度的存在性及其自平均性。
• 在小键概率下，证明非渗流相中簇大小分布的指数衰减。
• 在这些条件下，推导图拉普拉斯算子在谱下端的 Lifshits 尾部行为。

提出的方法

• 通过推广 [Ho3] 中的方法，为随机着色非周期图构造遍历动力系统，显式刻画遍历测度。
• 证明随机着色图的动力系统遍历定理（定理 3.5），将先前结果推广至非周期、非周期结构。
• 通过宏观极限（定理 4.5）刻画积分密度，并证明有限范围协变算子的谱非随机性（定理 4.7）。
• 推导从顶点出发到达距离 n 的开路径的概率的指数衰减估计（引理 7.2），适用于键概率 p < 1/(d_max - 1)。
• 利用此路径概率界，证明簇大小分布的指数衰减（定理 7.4），衰减率 λ(p) 依赖于 r、d_max 和 l_max，且具有一致性。
• 将簇大小衰减应用于证明渗流子图上图拉普拉斯算子在谱下端的 Lifshits 尾部行为（定理 5.2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限局部复杂度的随机着色非周期图上，有限范围算子的积分密度是否存在且具有自平均性？
• RQ2 在一般遍历性假设下，能否证明此类算子的谱为非随机？
• RQ3 对于具有有界度和有限边长的一般非周期图，在非渗流相中，簇大小分布是否呈指数衰减？
• RQ4 图拉普拉斯算子在渗流子图上的谱分布靠近谱下端时的渐近行为如何？
• RQ5 在何种条件下，此类系统在谱下端表现出 Lifshits 尾部行为？

主要发现

• 有限范围协变算子在随机着色非周期图上的积分密度存在，且通过宏观极限（定理 4.5）实现自平均性。
• 此类算子的谱是非随机的，且与积分密度的生长点集合一致（定理 4.7）。
• 当键概率 p < 1/(d_max - 1) 时，簇大小至少为 n 的概率在顶点和图上一致地指数衰减，衰减率 λ(p) ≤ [2χ(p)^2]^{-1}（定理 7.4）。
• 当 p < 1/(d_max - 1) 时，簇的平均大小被 χ(p) < ∞ 一致有界，意味着簇大小分布呈指数衰减（引理 7.3）。
• 在簇大小呈指数衰减的假设下，建立了渗流子图上图拉普拉斯算子在谱下端的 Lifshits 尾部行为（定理 5.2）。
• 路径概率估计（7.4）中的衰减率 ψ(p) 由 ψ(p) = (1/l_max) ln(1/(p(d_max - 1))) 给出，确保在足够小的 p 下实现指数衰减。