[论文解读] Random Conductance Models with Stable-like Jumps: Quenched Invariance Principle

Xin Chen, Takashi Kumagai+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 8

一句话总结

本论文为 $\mathbb{Z}^d$ 上具有 $\alpha$-稳定类似跳跃的长程随机导率模型建立了淬火不变性原理，其中转移率按 $|x-y|^{-(d+\alpha)}$ 衰减，$\alpha \in (0,2)$。通过使用概率势论和非椭圆型哈纳克不等式，证明了在斯科罗霍德拓扑下，标度极限为对称的 $\alpha$-稳定 Lévy 过程，即使导率退化或非同分布。

ABSTRACT

We study the quenched invariance principle for random conductance models with long range jumps on $\Z^d$, where the transition probability from $x$ to $y$ is, on average, comparable to $|x-y|^{-(d+α)}$ with $α\in (0,2)$ but is allowed to be degenerate. Under some moment conditions on the conductance, we prove that the scaling limit of the Markov process is a symmetric $α$-stable Lévy process on $\R^d$.The well-known corrector method in homogenization theory does not seem to work in this setting. Instead, we utilize probabilistic potential theory for the corresponding jump processes. Two essential ingredients of our proof are the tightness estimate and the Hölder regularity of caloric functions for non-elliptic $α$-stable-like processes on graphs. Our method is robust enough to apply not only for $\Z^d$ but also for more general graphs whose scaling limits are nice metric measure spaces.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{Z}^d$ 上具有 $\alpha$-稳定类似跳跃率的长程随机导率模型建立淬火不变性原理。
• 克服由于长程设定下缺乏 $L^2$ 可积性而导致经典均质化技术（如校正器方法）失效的问题。
• 开发一种稳健的方法，适用于 $\mathbb{Z}^d$ 之外的场景，包括其标度极限为良好度量测度空间的一般图。
• 证明在所有 $\alpha \in (0,2)$ 下，包括 $\alpha \geq 1$ 的情形，于斯科罗霍德拓扑下收敛至对称 $\alpha$-稳定 Lévy 过程，从而扩展了以往仅限于 $\alpha < 1$ 的结果。
• 在不依赖于平移不变性或从粒子视角观察的环境的前提下，处理退化、非同分布甚至非遍历的导率。

提出的方法

• 利用图上非椭圆型 $\alpha$-稳定类似跳跃过程的概率势论。
• 在缺乏一致椭圆性的情况下，以紧致性估计和调和函数的霍尔德正则性作为关键工具。
• 应用时间变换技术，将变速度过程转化为常速度过程，从而实现收敛至时间变换的稳定 Lévy 过程。
• 使用贝雷尔-坎泰利引理，在导率分布满足强混合条件时推导出淬火估计。
• 建立非一致的哈纳克不等式和适应于稀疏长程导率结构的热核估计。
• 依赖于环境过程的遍历性和平稳性，以证明时间平均导率几乎必然收敛至确定常数 $C_{d,\alpha}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当导率退化或非同分布时，是否可以在 $\mathbb{Z}^d$ 上为具有 $\alpha$-稳定类似跳跃的长程随机导率模型建立淬火不变性原理？
• RQ2 在长程、非椭圆设定下，经典校正器方法是否失效？若如此，应采用何种替代框架？
• RQ3 是否可以证明在所有 $\alpha \in (0,2)$ 下（包括 $\alpha \geq 1$）于斯科罗霍德拓扑下收敛至对称 $\alpha$-稳定 Lévy 过程？
• RQ4 是否可以将淬火不变性原理推广至其标度极限为良好度量测度空间的一般图，而不仅限于 $\mathbb{Z}^d$？
• RQ5 如何在不依赖于从粒子视角观察的环境或平移不变性的情况下推导出淬火估计？

主要发现

• 在所有 $\alpha \in (0,2)$ 下，$\mathbb{Z}^d$ 上变速度 $\alpha$-稳定类似随机游走的标度极限为斯科罗霍德拓扑下的对称 $\alpha$-稳定 Lévy 过程。
• 对于常速度过程，标度极限为时间变换的对称 $\alpha$-稳定 Lévy 过程 $Y_{C_{d,\alpha}^{-1} \cdot}$，其中 $C_{d,\alpha} = \sum_{y \neq 0} |y|^{-d-\alpha}$。
• 该方法避免了校正器方法，转而依赖于非椭圆设定下调和函数的霍尔德正则性和紧致性估计。
• 该方法具有鲁棒性，适用于其标度极限为良好度量测度空间的一般图，而不仅限于 $\mathbb{Z}^d$。
• 即使在导率场退化、非同分布且非遍历的情况下，只要满足强混合条件，该方法依然有效。
• 长程导率模型通常不满足哈纳克不等式，因此需要对现有的德吉奥尔吉-纳什-莫泽理论进行新颖的修正。