[论文解读] Random cones in high dimensions I: Donoho-Tanner and Cover-Efron cones

Thomas Godland, Zakhar Kabluchko+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文建立了高维中两类随机锥体——Donoho-Tanner锥体 $D_{n,d}$ 与 Cover-Efron锥体 $C_{n,d}$（即Donoho-Tanner锥体在不张成整个空间条件下的条件分布）——的组合与几何泛函的极限定理。研究揭示了期望统计维数的精确渐近行为，发现在临界比值 $\delta = 1/2$ 处存在高维相变，且在临界窗口 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ 内给出了精确极限。

ABSTRACT

Two models of random cones in high dimensions are considered, together with their duals. The Donoho-Tanner random cone $D_{n,d}$ can be defined as the positive hull of $n$ independent $d$-dimensional Gaussian random vectors. The Cover-Efron random cone $C_{n,d}$ is essentially defined as the same positive hull, conditioned on the event that it is not the whole space. We consider expectations of various combinatorial and geometric functionals of these random cones and prove that they satisfy limit theorems, as $d$ and $n$ tend to infinity in a suitably coordinated way. This includes, for example, large deviation principles and central as well as non-central limit theorems for the expected number of $k$-faces and the $k$-th conic intrinsic volumes, as $n$, $d$ and possibly also $k$ tend to infinity simultaneously. Furthermore, we determine the precise high-dimensional asymptotic behaviour of the expected statistical dimension for both models of random cones, uncovering thereby another high-dimensional phase transition. As an application, limit theorems for the number of $k$-faces of high-dimensional polytopes generated by random Gale diagrams are discussed as well.

研究动机与目标

• 分析高维随机锥体的关键几何与组合泛函（如面数与锥体内蕴体积）的渐近行为。
• 在 $n, d$ 和 $k$ 同时趋于无穷时，建立 $k$-面数与 $k$-阶锥体内蕴体积的期望的极限定理。
• 确定Donoho-Tanner与Cover-Efron随机锥体的期望统计维数的精确高维渐近行为。
• 解决Cover-Efron锥体的 $k$-面数期望在 $\delta = 1/2$ 处的开放情况。
• 将结果应用于由随机Gale图生成的高维多面体的 $k$-面数的极限定理。

提出的方法

• 将Donoho-Tanner锥体 $D_{n,d}$ 定义为 $n$ 个独立同分布的 $d$-维高斯向量的正包，将Cover-Efron锥体 $C_{n,d}$ 定义为同一正包在不张成 $\mathbb{R}^d$ 的条件下的条件分布。
• 利用随机几何与球面积分几何推导出的显式公式，计算组合与几何泛函（如面数、锥体内蕴体积）的期望。
• 应用大偏差原理以及中心极限定理与非中心极限定理，分析当 $n, d \to \infty$ 且 $n/d \to \delta$ 时的渐近行为。
• 利用二项分布的中心极限定理分析临界窗口 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$，并推导期望统计维数的精确极限。
• 通过锥体与其极锥体之间的对偶性，利用恒等式 $\mathbf{E}\Delta(S_{n,d}) = \mathbf{E}\Delta(D_{n,d}^\circ) \cdot \frac{2^n}{C(n,d)}$ 将Schläfli锥体的结果与Cover-Efron锥体联系起来。
• 使用集中与高斯近似技术分析归一化常数 $C(n,d) = \mathbb{P}[\text{Bin}(n-1,1/2) \leq d-1]$ 的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n, d \to \infty$ 且 $n/d \to \delta$ 时，Cover-Efron锥体 $C_{n,d}$ 的期望 $k$-面数的渐近行为如何？
• RQ2 在临界区域 $\delta = 1/2$ 下，Cover-Efron与Donoho-Tanner锥体的期望统计维数会发生什么变化？
• RQ3 在临界窗口 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ 内，期望锥体内蕴体积与面数的行为如何？
• RQ4 当 $n, d \to \infty$ 时，两种锥体模型的期望统计维数的精确高维极限是什么？
• RQ5 在 $\delta = 1/2$ 处，$k$-面数期望的相变是否可被完全刻画，收敛速率如何？

主要发现

• 当 $d \to \infty$ 且 $n/d \to \delta$ 时，$\mathbf{E}f_k(C_{n,d}) / \binom{n}{k}$ 的极限为 $1$，其中 $\delta \in (1/2, 1]$，从而解决了 $\delta = 1/2$ 处的开放问题。
• 在临界窗口 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ 内，对任意固定的 $k$，有 $\lim_{d\to\infty} \sqrt{d} \left(1 - \frac{\mathbf{E}f_k(C_{n,d})}{\binom{n}{k}} \right) = \frac{e^{-c^2/4}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( \Phi(-c/\sqrt{2}) - \frac{c}{2} \right)$。
• Cover-Efron锥体的期望统计维数满足：当 $\delta \in (1/2, 1]$ 时，$\mathbf{E}\Delta(C_{n,d}) \sim \frac{d}{2\delta}$；当 $\delta \in (0, 1/2]$ 时，$\mathbf{E}\Delta(C_{n,d}) \sim d$。
• 在临界窗口 $n = 2d + c\sqrt{d} + o(\sqrt{d})$ 内，Cover-Efron锥体的期望统计维数收敛于 $d \cdot \frac{1}{\Phi(-c/\sqrt{2})}$。
• Donoho-Tanner锥体的期望统计维数满足：当 $\delta \in (1/2, 1]$ 时，$\mathbf{E}\Delta(D_{n,d}) \sim \frac{d}{2\delta}$；当 $\delta \in (0, 1/2)$ 时，$\mathbf{E}\Delta(D_{n,d}) \sim \frac{d}{2(1-2\delta)}$。
• 结果表明，通过锥体对偶性与Schläfli锥体构造，可推导出由随机Gale图生成的高维多面体的 $k$-面数的极限定理。