[论文解读] Random Distances Associated With Equilateral Triangles

Yanyan Zhuang, Jianping Pan|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文推导了在四种涉及正三角形的几何构型中，两个在正三角形内均匀分布的点之间的随机欧几里得距离的概率密度函数（PDF）的闭式表达式：单个三角形内、共享一条边的两个相邻三角形之间、共享一个顶点的两个平行三角形之间，以及共享一个顶点的两个对角三角形之间。结果通过模拟验证，包含前两阶矩的精确表达式，以及适用于实际应用的高阶多项式拟合。

ABSTRACT

In this report, the explicit probability density functions of the random Euclidean distances associated with equilateral triangles are given, when the two endpoints of a link are randomly distributed in 1) the same triangle, 2) two adjacent triangles sharing a side, 3) two parallel triangles sharing a vertex, and 4) two diagonal triangles sharing a vertex, respectively. The density function for 1) is based on the most recent work by Basel [1]. 2)-4) are based on 1) and our previous work in [2], [3]. Simulation results show the accuracy of the obtained closed-form distance distribution functions, which are important in the theory of geometrical probability. The first two statistical moments of the random distances and the polynomial fits of the density functions are also given in this report for practical uses.

研究动机与目标

• 推导在各种正三角形构型中，两个在单位内均匀分布的点之间距离的精确概率密度函数（PDF）。
• 将先前关于正多边形内弦长分布的研究扩展至涉及正三角形的特定情形。
• 通过蒙特卡洛模拟验证推导出的PDF的准确性。
• 为实际应用提供距离分布的前两阶矩（均值和方差）。
• 提供高精度的PDF多项式拟合，以方便计算和分析。

提出的方法

• 单个正三角形内距离的PDF由Bäsel关于正多边形弦长分布的结果推导而来，特化为n=3且r=1/√3的情形。
• 对于相邻、平行和对角的三角形对，PDF通过已知的单个三角形内PDF以及由两个相邻三角形构成的菱形中的距离分布构建而成。
• 应用关系式 g_D_A(d) = 2f_D_I(d) - g_D_I(d)，其中 f_D_I(d) 为菱形中的总体距离PDF，g_D_I(d) 为三角形内的PDF。
• 通过在距离范围内对相应PDF积分，推导累积分布函数（CDF）。
• 通过在[0,1]区间对PDF进行数值积分计算统计矩，并按边长s进行缩放。
• 使用最小二乘拟合生成每个PDF的20次多项式拟合，报告残差范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 边长为1的单个正三角形内，两个随机点之间距离的精确概率密度函数是什么？
• RQ2 当两个点分别位于共享一条边的两个相邻正三角形中时，距离分布如何变化？
• RQ3 共享一个顶点的两个平行正三角形中，点之间距离分布的统计特性（均值、方差）是什么？
• RQ4 推导出的PDF在计算用途中能以多高精度通过多项式拟合近似？
• RQ5 当两个点分别位于共享一个顶点的两个对角正三角形中时，距离分布的行为如何？

主要发现

• 单个正三角形内距离的PDF以分段函数形式明确推导，包含反三角函数和多项式项，适用于 d ∈ [0,1]，其闭式表达式见公式(4)。
• 单位正三角形内距离的均值约为0.3647918433，方差约为0.0335935777，两者均随边长s线性缩放。
• 对于共享一条边的两个相邻三角形，均值距离约为0.6599648287s，方差约为0.0644464249s²。
• 对于共享一个顶点的两个平行三角形，均值距离约为1.0423971067s，方差约为0.0800749386s²。
• 对于共享一个顶点的两个对角三角形，均值距离约为1.1880379828s，方差约为0.0885657513s²。
• 20次多项式拟合的残差范数极低（例如，三角形内情形为0.002646），证实了对原始PDF的高精度近似。