[论文解读] Random Finite Noncommutative Geometries and Topological Recursion

Shahab Azarfar, Masoud Khalkhali|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于类型 (1,0) 的随机矩阵几何的有限非交换空间上的量子引力模型，其中狄拉克算符通过矩阵模型作用量进行分布。该研究通过块状拓扑递归建立了相关形式的递归计算，并证明了系数枚举了离散曲面（填充图），并给出了模型参数下基本二微分 ω₀,₂ 的显式公式。

ABSTRACT

In this paper we investigate a model for quantum gravity on finite noncommutative spaces using the theory of blobbed topological recursion. The model is based on a particular class of random finite real spectral triples ${(\mathcal{A}, \mathcal{H}, D , γ, J) \,}$, called random matrix geometries of type ${(1,0) \,}$, with a fixed fermion space ${(\mathcal{A}, \mathcal{H}, γ, J) \,}$, and a distribution of the form ${e^{- \mathcal{S} (D)} {\mathop{}\!\mathrm{d}} D}$ over the moduli space of Dirac operators. The action functional ${\mathcal{S} (D)}$ is considered to be a sum of terms of the form ${\prod_{i=1}^s \mathrm{Tr} \left( {D^{n_i}} ight)}$ for arbitrary ${s \geqslant 1 \,}$. The Schwinger-Dyson equations satisfied by the connected correlators ${W_n}$ of the corresponding multi-trace formal 1-Hermitian matrix model are derived by a differential geometric approach. It is shown that the coefficients ${W_{g,n}}$ of the large $N$ expansion of ${W_n}$'s enumerate discrete surfaces, called stuffed maps, whose building blocks are of particular topologies. The spectral curve ${\left( {Σ, ω_{0,1} , ω_{0,2}} ight)}$ of the model is investigated in detail. In particular, we derive an explicit expression for the fundamental symmetric bidifferential ${ω_{0,2}}$ in terms of the formal parameters of the model.

研究动机与目标

• 开发一种基于随机矩阵几何的有限非交换空间上的量子引力场论框架。
• 通过一元赫米特矩阵模型，将非交换几何中的谱作用形式与拓扑递归联系起来。
• 在大 N 极限下推导多迹相关函数的施温格-戴逊方程。
• 表征谱曲线并显式计算该模型的基本二微分 ω₀,₂。
• 建立使用块状拓扑递归计算所有相关形式 ωg,n 的递归算法。

提出的方法

• 构建一个具有固定费米子空间 (𝒜,ℋ,γ,J) 的随机矩阵几何模型，其中狄拉克算符 D 按 e⁻𝒮(D) dD 分布。
• 将作用量泛函 𝒮(D) 定义为任意 s ≥ 1 个迹的乘积 ∏ᵢ Tr(Dⁿⁱ)。
• 通过微分几何方法推导连通相关函数 Wₙ 的施温格-戴逊方程。
• 将块状拓扑递归应用于一元赫米特矩阵模型，通过留数运算推导出 ωg,n 的递归公式。
• 使用局部柯西核 G(z,ζ) 和递归核 K(z,ζ) 构造亚纯1-形式并解析奇点。
• 建立一个涉及在分支点处留数及 ∂Σ 上积分的 ωg,n 递归公式，其中 ω₀,₁ 和 ω₀,₂ 作为初始数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用矩阵模型与拓扑递归对随机有限非交换几何进行建模？
• RQ2 该模型中的谱曲线与基本二微分 ω₀,₂ 的结构是什么？
• RQ3 连通相关函数 Wₙ 在大 N 极限下的展开形式如何？其系数枚举了哪些几何对象？
• RQ4 施温格-戴逊方程能否被重写为与块状拓扑递归兼容的递归形式？
• RQ5 递归核的精确形式是什么？它如何实现高亏格相关形式的计算？

主要发现

• Wₙ 的大 N 展开式中系数 Wg,n 枚举了特定拓扑构成块的离散曲面（即填充图）。
• 谱曲线 (Σ, ω₀,₁, ω₀,₂) 被完全表征，且基本对称二微分 ω₀,₂ 的显式表达式以模型的形式参数表示。
• 施温格-戴逊方程被重构成与块状拓扑递归兼容的形式，从而实现了所有 ωg,n 的递归计算。
• ωg,n 的递归公式为 ωg,n(z,zI) = −1/(2πi) ∫∂Σ ω₀,₂(z,ζ) 𝒱g,n(ζ;zI) + Σₚ∈ℝ Resζ=p K(z,ζ) ℰg,n(ζ,ι(ζ);zI)，其中 ω₀,₁ 和 ω₀,₂ 作为初始数据。
• ωg,n 的极点仅出现在分支点处，且由于留数项的解析性与递归核 K(z,ζ) 的结构，该递归公式是良定义的。