[论文解读] Random flights related to the Euler-Poisson-Darboux equation

Roberto Garra, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 14

一句话总结

本文研究了一维及更高维度中具有有限速度和由非齐次泊松过程控制的时间依赖方向变化的随机飞行。通过求解欧拉-泊松-达布豪斯方程（EPD）的初值问题，推导出粒子位置的显式概率密度函数，结果表明当速率函数为 λ(t) = α/t、λ(t) = λ coth(λt) 和 λ(t) = λ tanh(λt) 时，解产生新的概率分布，包括对弧sin定律的多维扩展以及具有奇异分量的新平面运动规律。

ABSTRACT

This paper is devoted to the analysis of random motions on the line and in the space R^d (d > 1) performed at finite velocity and governed by a non-homogeneous Poisson process with rate λ(t). The explicit distributions p(x,t) of the position of the randomly moving particles are obtained solving initial-value problems for the Euler- Poisson-Darboux equation when λ(t) = α/t, t > 0. We consider also the case where λ(t) = λcoth λt and λ(t) = λtanh λt, where some Riccati differential equations emerge and the explicit distributions are obtained for d = 1. We also examine planar random motions with random velocities by projecting random flights in R^d onto the plane. Finally the case of planar motions with four orthogonal directions is considered and the corresponding higher-order equations with time-varying coefficients obtained.

研究动机与目标

• 分析 R^d 上具有有限速度和由非齐次泊松过程控制的时间依赖方向变化的随机运动。
• 通过求解欧拉-泊松-达布豪斯（EPD）方程的柯西问题，推导出粒子位置的显式概率密度函数。
• 将经典的电报过程推广至非齐次速率，特别是 λ(t) = α/t、λ coth(λt) 和 λ tanh(λt)，并研究其概率和分析性质。
• 研究高维随机飞行在平面上的投影，导出新的随机速度过程。
• 为具有四个正交方向的平面运动推导含时变系数的高阶偏微分方程。

提出的方法

• 通过初值问题求解含时变系数的多维欧拉-泊松-达布豪斯方程。
• 应用埃雷迪-科伯分数阶积分变换，将解与波动方程及达朗贝尔解联系起来。
• 利用 EPD 方程的基本解，推导出 d 维随机飞行的概率密度，其表达式为 p(x,t) = Γ(γ + d/2)/(π^{d/2}Γ(γ)(ct)^{d-2+2γ}) × (c²t² - ||x||²)^{γ-1}，其中 ||x|| < ct。
• 推导出给定 N(t) = n 时平面运动的条件密度，表明对于固定的 n，位置分布在半径为 ct 的圆盘上均匀分布。
• 分析两种情形：仅在奇数阶或偶数阶泊松时间发生方向变化，导致分别涉及双曲正弦和余弦函数的显著不同密度。
• 推导出含时变系数的控制型电报方程：∂²p/∂t² + 2λ coth(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0 和 ∂²p/∂t² + 2λ tanh(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限速度和非齐次泊松切换速率的随机飞行如何与欧拉-泊松-达布豪斯方程的解相关联？
• RQ2 当切换速率为 λ(t) = α/t 时，d 维随机飞行的概率密度函数的显式形式是什么？
• RQ3 当切换速率分别为 λ(t) = λ coth(λt) 和 λ(t) = λ tanh(λt) 时，分布有何不同，特别是在奇异分量方面？
• RQ4 当方向变化仅发生在奇数阶或偶数阶泊松时间时，平面运动的结构是怎样的，其结果密度有何差异？
• RQ5 具有四个正交方向的平面随机运动由何种含时变系数的高阶偏微分方程控制？

主要发现

• 当 λ(t) = α/t 时，一维分布为 p(x,t) = 1/(B(α,1/2)ct)(1 - x²/(c²t²))^{α-1}，其中 |x| < ct，当 α = 1/2 时，该分布推广了弧sin定律。
• d 维基本解为 p(x,t) = Γ(γ + d/2)/(π^{d/2}Γ(γ)(ct)^{d-2+2γ})(c²t² - ||x||²)^{γ-1}，其中 ||x|| < ct，且 γ = α - (d-1)/2。
• 当 λ(t) = λ coth(λt) 时，平面运动的密度为 P(dx,dy) = (λ/(2πc sinh(λt))) × cosh(λ/ c √(c²t² - x² - y²)) / √(c²t² - x² - y²) dx dy，其在圆盘边界处发散。
• 当 λ(t) = λ tanh(λt) 时，平面运动的密度为 P(dx,dy) = (λ/(2πc cosh(λt))) × sinh(λ/c √(c²t² - x² - y²)) / √(c²t² - x² - y²) dx dy，其在边界 ∂C_{ct} 上具有权重为 1 - 1/cosh(λt) 的奇异分量。
• 仅在奇数阶切换时间发生时，运动由电报方程 ∂²p/∂t² + 2λ coth(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0 控制。
• 仅在偶数阶切换时间发生时，运动满足电报方程 ∂²p/∂t² + 2λ tanh(λt) ∂p/∂t - c²Δp = 0，且在边界处具有非零离散分量。