[论文解读] Random graphs from a block class

Colin McDiarmid, Alex Scott|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究了来自块类的随机图——即在块分解下封闭的类——并建立了每个顶点和每条路径所含块数的紧致渐近界。结果表明，在此类图中，典型随机n-顶点图的每个顶点至多属于(1+o(1)) log n / log log n个块，每条路径至多经过5(n log n)^1/2个块，当块数k(n) → ∞时，边界可进一步改进。

ABSTRACT

Abstract. A block class is a class of graphs such that a graph is in the class if and only if each of its blocks is. We show that, as for trees, for most random n-vertex graphs in such a class, each vertex is in at most (1+o(1)) log n / log logn blocks, and each path passes through at most 5(n log n)1/2 blocks. Further, these results remain true when we condition on the numbers of components and blocks, and on the list of blocks appearing; and if there are at most k blocks (where k = k(n) → ∞) we may replace n by k to obtain improved bounds. 1.

研究动机与目标

• 理解从块类中抽取的随机图的结构特性，其中图的成员资格仅取决于其组成的块。
• 确定此类随机图中给定顶点所包含的典型块数。
• 量化随机图中任意路径可穿过的最大块数。
• 在对连通分量数、块数及块类型列表进行条件限制下，扩展上述结果。
• 当块数k(n)随n增长时，对边界进行优化，将渐近表达式中的n替换为k。

提出的方法

• 该分析使用概率方法研究块类中随机图的块分布。
• 采用分支过程及类似分支的论证方法，对块的连接与顶点参与进行建模。
• 通过对数与平方根尺度，推导出顶点与路径块数的渐近集中结果。
• 使用条件概率技术，在对连通分量与块数进行条件限制时维持边界有效性。
• 将块数k(n)作为参数引入方法中，以优化渐近边界，当k → ∞时，用k替代n。
• 应用关键不等式与尾部概率界，以控制任意路径上块数的最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在块类中抽取的随机图中，给定顶点所包含的典型块数是多少？
• RQ2 此类随机图中，单条路径最多可穿过的块数是多少？
• RQ3 当对连通分量数、块数及块类型进行条件限制时，这些边界如何变化？
• RQ4 当块数k(n)随n增长时，能否获得更紧致的边界，即将渐近表达式中的n替换为k？
• RQ5 在各种条件限制下，相同的渐近行为是否依然成立？

主要发现

• 在块类中的随机n-顶点图中，每个顶点以高概率至多属于(1+o(1)) log n / log log n个块。
• 在该类图中，每条路径以高概率至多经过5(n log n)^1/2个块。
• 即使在对连通分量数、块数及所含块的多重集进行条件限制时，这些边界依然成立。
• 当块数k(n) → ∞时，可通过将n替换为k来改进边界，得到每个顶点至多(1+o(1)) log k / log log k个块。
• 当用k替代n时，路径块数边界变为5(k log k)^1/2，反映出在稀疏块结构下控制更紧密。
• 结果表明，块类中随机图的块结构受到高度约束，顶点与路径的块参与程度主要受对数与平方根尺度支配。