[论文解读] Random graphs of free groups contain surface subgroups

Danny Calegari, Henry Wilton|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文证明，通过长度为n的同态随机映射边群到顶点群而构造的自由群的随机图，随着n增大，几乎必然包含一个闭曲面子群。该证明是构造性的，依赖于具有伪随机边界条件的折叠胖图，并建立了在随机同态下，自由群的并和HNN扩张中存在此类曲面子群的结果。

ABSTRACT

A random graph of free groups contains a surface subgroup

研究动机与目标

• 解决格罗莫夫关于随机自由群图的曲面子群问题的特殊情况。
• 证明随机自由群图是双曲的且本质上特殊，满足小余因子条件。
• 提供一种在高概率下将闭曲面子群构造性嵌入此类图中的方法。
• 通过展示在随机构造下，已知的立方化和本质上特殊群也包含曲面子群，扩展已有结果。
• 建立在随机自由群图中存在无穷多个不同曲面子群的事实。

提出的方法

• 通过从边群到顶点群的长度n的随机同态定义随机自由群图。
• 使用具有指定边界词且满足(T,ε)-伪随机性的折叠胖图来构造曲面子群。
• 将Calegari–Walker（2013）关于升序HNN扩张中单射曲面子群的结果应用于随机图设定。
• 通过折叠胖图上的局部组合条件来验证曲面子群的单射性。
• 利用随机同态以高概率满足C′(λ)小余因子条件的事实，确保双曲性。
• 使用程序scallop在特定情况下实验验证此类曲面子群的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机自由群图是否以高概率包含闭曲面子群？
• RQ2 能否使用构造性方法在随机自由群图中显式构建曲面子群？
• RQ3 折叠胖图上的何种伪随机性条件能保证单射曲面子群的存在？
• RQ4 随着随机同态长度n的增加，包含曲面子群的概率如何变化？
• RQ5 随机自由群图在多大程度上满足小余因子性和本质特殊性性质？

主要发现

• 当n → ∞时，随机自由群图以概率1 - O(e^(-Cn)) 包含闭曲面子群。
• 曲面子群的构造是显式的，并通过折叠胖图上的局部组合条件得到验证。
• 长度n的随机同态以概率1 - O(e^(-Cn)) 满足小余因子条件C′(λ)，对任意λ > 0成立。
• 该证明在单个随机自由群图中得出无穷多个不同的曲面子群。
• 该结果表明，许多双曲群——如C′(1/6)群和密度小于1/6的随机群——都包含曲面子群。
• 该方法与程序scallop兼容，可实现对曲面子群嵌入的计算验证。