[论文解读] Random ideal triangulations and the Weil-Petersson distance between finite degree covers of punctured Riemann surfaces

Jeremy Kahn, Vladimir Marković|ArXiv.org|Jun 13, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 8

一句话总结

该论文证明了对于任意两个具有至少一个尖点的有限类型双曲黎曼曲面，以及任意 ε > 0，存在它们的有限阶无分支覆盖，使得这些覆盖在拟共形等价下彼此接近，且其 Weil-Petersson 距离小于 ε。该构造依赖于剪切坐标较小的随机理想三角剖分，且覆盖的阶数为 1/ε 的多项式函数，Weil-Petersson 度量的归一化确保了覆盖映射下的等距嵌入。

ABSTRACT

We prove that any two finite-area non-compact hyperbolic Riemann surfaces S and T have finite covers that are arbitrarily close in the normalized Weil-Petersson metric, where we normalize by dividing the square of the metric by the area of the surface. In the case where T is the modular surface this reduces to showing that S has a finite cover with a proper ideal triangulation where most of the shear coordinates are small; we will construct such a cover out of a random collection of immersed ideal triangles in S.

研究动机与目标

• 通过 Weil-Petersson 度量解决带尖点黎曼曲面的 Ehrenpreis 猜想的一个变体。
• 显式构造两个给定带尖点双曲曲面的有限阶无分支覆盖，使得这些覆盖拟共形等价且在 Weil-Petersson 度量下接近。
• 证明通过多项式阶覆盖构造，此类覆盖之间的 Weil-Petersson 距离可被任意缩小至小于 ε。
• 建立 Weil-Petersson 度量的归一化在覆盖映射下保持等距，从而实现在不同覆盖之间有意义的距离比较。

提出的方法

• 构造有限阶覆盖 S(r) → S 和 R(r) → R，使得这些覆盖具有剪切坐标较小的理想三角剖分。
• 利用随机理想三角剖分确保剪切坐标在概率上较小，从而近似模曲面（剪切坐标全为零的曲面）。
• 利用模曲面（所有剪切坐标为零）在归一化后通过 √(2π(2g−2+n)) 的方式，可在 Weil-Petersson 度量下等距嵌入。
• 通过将 Weil-Petersson 度量除以 √(2π(2g−2+n)) 实现归一化，使得覆盖映射在该度量下保持等距。
• 利用单位切丛的结构及测地线流的动力学，估计测地线射线长时间停留在曲面厚部分区域的测度。
• 应用 Fubini 定理，并对 Poincaré 级数和剪切贡献进行估计，以控制总 Weil-Petersson 能量并控制覆盖之间的距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造两个带尖点双曲曲面的有限阶无分支覆盖，使得其 Weil-Petersson 距离小于任意给定的 ε > 0？
• RQ2 归一化的 Weil-Petersson 度量是否允许覆盖映射保持等距，从而实现不同覆盖之间距离的比较？
• RQ3 能否利用随机理想三角剖分构造剪切坐标较小的覆盖，以近似模曲面？
• RQ4 所需覆盖的阶数是否为 1/ε 的多项式函数，且与初始曲面 S 和 R 无关？

主要发现

• 对于任意 ε > 0，存在有限阶无分支覆盖 S_ε → S 和 R_ε → R，使得 S_ε 与 R_ε 之间的 Weil-Petersson 距离小于 ε。
• 该构造确保覆盖拟共形等价，即它们具有相同的亏格和尖点数。
• 覆盖的阶数为 1/ε 的多项式函数，且多项式次数与初始曲面 S 和 R 无关。
• 通过 √(2π(2g−2+n)) 对 Weil-Petersson 度量进行归一化，确保覆盖映射为等距，从而实现一致的距离比较。
• 证明依赖于构造具有小剪切坐标的理想三角剖分的覆盖，这些覆盖在 Weil-Petersson 度量下被证明接近模曲面（剪切坐标全为零）。
• 测地线方向中长时间停留在曲面厚部分的测度呈指数衰减，该性质被用于控制模空间中的能量与距离。