[论文解读] Random iteration with place dependent probabilities

Rafał Kapica, Maciej Ślęczka|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 7

一句话总结

该论文为波兰空间上由具有位置依赖转移概率的函数随机迭代驱动的马尔可夫链建立了唯一不变测度的指数收敛性。通过一种新颖的耦合方法，该方法考虑了状态相关的分布，作者证明了几何遍历性，并将该框架应用于 ℝᵈ 上的随机仿射变换，引入了一类新的‘具有位置依赖概率的持续性’，其具有指数吸引的平稳分布。

ABSTRACT

Markov chains arising from random iteration of functions $S_θ:X o X$, $θ\in Θ$, where $X$ is a Polish space and $Θ$ is arbitrary set of indices are considerd. At $x\in X$, $θ$ is sampled from distribution $θ_x$ on $Θ$ and $θ_x$ are different for different $x$. Exponential convergence to a unique invariant measure is proved. This result is applied to case of random affine transformations on ${\mathbb R}^d$ giving existence of exponentially attractive perpetuities with place dependent probabilities.

研究动机与目标

• 在波兰空间上，为具有位置依赖转移概率的马尔可夫链建立对唯一不变测度的指数收敛性。
• 将随机递推方程与持续性理论扩展到转移分布依赖于当前状态的情形。
• 开发一种基于耦合的方法，能够处理由状态相关概率引起的相互奇异转移核。
• 在具有位置依赖概率的随机迭代的一般设定下，提供确保几何遍历性的充分条件。
• 将经典持续性结果推广到随机系数的分布依赖于当前状态的情形。

提出的方法

• 作者采用渐近耦合方法，在 X×X 上构造联合马尔可夫链，以在从不同点出发的轨迹之间引入依赖性。
• 他们将耦合链的转移核分解为一个压缩部分 Qₓ,ᵧ 和一个剩余部分 Rₓ,ᵧ，确保 ∫d(u,v)Qₓ,ᵧ(du,dv) ≤ αd(x,y)，其中 α∈(0,1)。
• 该方法依赖于存在一个统一的压缩率 α<1，以及对所有 x,y∈ℝᵈ，转移测度 μₓ∧μᵧ 的重叠存在统一下界。
• 证明使用了 Fortet-Mourier 度量和 Wasserstein 度量，分别量化在 *-弱拓扑和总变差下的收敛性。
• 该框架被应用于随机仿射变换 x↦M(θ)x+Q(θ)，其中 (M,Q) 的分布依赖于当前状态 x。
• x↦μₓ 在总变差范数下的 Hölder 连续性，以及 μₓ∧μᵧ 的统一下界，是关键的技术条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有位置依赖转移概率的马尔可夫链建立对唯一不变测度的指数收敛性？
• RQ2 耦合方法如何适应处理在邻近状态之间相互奇异的转移核？
• RQ3 对于具有状态依赖系数的随机仿射变换，什么条件能确保存在唯一且指数吸引的不变测度？
• RQ4 当转移概率依赖于当前状态时，持续性的概念在何种意义上被推广？
• RQ5 在状态依赖动力系统下，收敛速率能否用总变差和 Fortet-Mourier 范数来量化？

主要发现

• 由波兰空间上具有位置依赖随机迭代函数驱动的马尔可夫链 (Xₙ)ₙ∈ℕ₀ 具有唯一的不变测度 μ*。
• 在 Fortet-Mourier 拓扑下，对 μ* 的指数收敛成立：‖P*ⁿμ − μ*‖_FM ≤ qⁿC(1 + ∫|x|μ(dx))，其中 q∈(0,1)，C>0。
• 对于 ℝᵈ 上的随机仿射变换，不变测度 μ* 属于 ℳ₁¹(ℝᵈ)，即其具有有限一阶矩。
• 充分条件包括：supₓ∫||m||dμₓ(m,q) < 1，supₓ∫|q|dμₓ(m,q) < ∞，以及 x↦μₓ 在总变差范数下的 Hölder 连续性。
• 对所有 x,y∈ℝᵈ，μₓ∧μᵧ({(m,q):||m||≤α}) 的统一下界 δ>0 确保了耦合机制有效。
• 该结果通过允许系数 (M,Q) 的分布依赖于当前状态 x，推广了经典持续性理论。