[论文解读] Random matrices and quantum spin chains

Jonathan P. Keating, Noah Linden+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Quantum many-body systems参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文提出了尊重具有近邻相互作用的量子自旋链的局部张量结构的随机矩阵系综，证明了当链长 $n \to \infty$ 时，系综平均态密度的中心极限定理，并给出了收敛速率的显式界。该结果在一类概率测度和相互作用几何中具有普遍性，数值结果证实了谱级间距统计与 GOE、GUE 和 GSE 系综的一致性。

ABSTRACT

Random matrix ensembles are introduced that respect the local tensor structure of Hamiltonians describing a chain of $n$ distinguishable spin-half particles with nearest-neighbour interactions. We prove a central limit theorem for the density of states when $n ightarrow\infty$, giving explicit bounds on the rate of approach to the limit. Universality within a class of probability measures and the extension to more general interaction geometries are established. The level spacing distributions of the Gaussian Orthogonal, Unitary and Symplectic Ensembles are observed numerically for the energy levels in these ensembles.

研究动机与目标

• 开发反映具有近邻相互作用的量子自旋链局部张量结构的随机矩阵系综，与标准的 Wigner 和不变系综不同。
• 严格证明当 $n \to \infty$ 时，系综平均态密度的中心极限定理，并给出收敛速率的显式界。
• 建立中心极限定理在一类概率测度和相互作用几何中的普遍性。
• 研究反酉对称性在塑造谱统计特性（尤其是级间距分布）中的作用。
• 将这些系综的统计特性与量子信息理论联系起来，特别是非可积系统中激发态的特性。

提出的方法

• 该方法通过将自旋链划分为哈密顿量分量彼此对易的子链，从而能够应用特征函数技术来证明中心极限定理。
• 证明依赖于对归一化本征值分布的特征函数进行分析，并利用涉及矩阵指数的积分恒等式建立显式界。
• 一个关键技术工具是差值 $\mathrm{e}^{it(X+Y)} - \mathrm{e}^{itX}\mathrm{e}^{itY}$ 的积分恒等式，通过重复应用微积分基本定理推导得出。
• 该分析被扩展到具有局部、Jordan-Wigner 变换和不变相互作用结构的系综，并对每种情况进行了数值验证。
• 通过计算最近邻级间距分布并将其与 Wigner-Dyson 和泊松统计进行比较，对谱统计进行了数值研究。
• 通过在多个链长和 $x$ 值下进行数值验证，确认了态密度测度向标准正态分布的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，具有近邻相互作用的量子自旋链的随机矩阵模型的系综平均态密度是否收敛到高斯分布？如果是，收敛速率如何？
• RQ2 态密度的中心极限定理是否在定义随机矩阵系综的概率测度和各种相互作用几何中具有普遍性？
• RQ3 反酉对称性如何影响这些系综中的谱统计特性，特别是最近邻级间距分布？
• RQ4 能否通过显式界量化态密度向正态极限收敛的速率？
• RQ5 这些随机矩阵系综在多大程度上捕捉了通用量子自旋链的统计特性，特别是在量子信息和遍历性背景下？

主要发现

• 通过特征函数分析，建立了系综平均态密度在 $n \to \infty$ 时收敛到标准正态分布的显式收敛速率界。
• 中心极限定理在一大类概率测度和相互作用几何中具有普遍性，包括局部、Jordan-Wigner 变换和不变相互作用结构。
• 数值模拟证实，系综中能级的级间距分布随 $n$ 增大而收敛到高斯正交系综（GOE）、高斯酉系综（GUE）和高斯辛系综（GSE）的分布。
• 对于 $H_n^{(JW)}$ 模型，平均展开级间距分布趋向泊松分布，与可积性一致；而 $H_n^{(local)}$ 则收敛到 GOE 级间距分布。
• 态密度测度向正态极限的收敛似乎与 $1/2^n$（即平均能级间距）成比例，而非与 $1/n$ 成比例，表明其收敛机制与标准随机矩阵模型不同。
• 由于系数缺乏统计独立性，中心极限定理的工具无法直接应用于 $H_n^{(inv)}$ 模型，因此该模型的谱统计特性仍为开放问题。