[论文解读] Random matrix approaches to open quantum systems

Henning Schomerus|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

本文全面回顾了随机矩阵理论在开放量子系统中的应用，重点研究无序或混沌系统中的散射、衰变与输运行为。文章建立了普遍统计行为（如散射极点、延迟时间及输运性质）与底层系综（如Wigner-Dyson、Wishart-Laguerre和Ginibre）之间的联系，阐明了对称性与非厄米动力学如何支配系统的全局可观测量。

ABSTRACT

Over the past decades, a great body of theoretical and mathematical work has been devoted to random-matrix descriptions of open quantum systems. In these notes, based on lectures delivered at the Les Houches Summer School "Stochastic Processes and Random Matrices" in July 2015, we review the physical origins and mathematical structures of the underlying models, and collect key predictions which give insight into the typical system behaviour. In particular, we aim to give an idea how the different features are interlinked. The notes mainly focus on elastic scattering but also include a short detour to interacting systems, which we motivate by the overarching question of ergodicity. The first chapters introduce general notions from random matrix theory, such as the ten universality classes and ensembles of hermitian, unitary, positive-definite and non-hermitian matrices. We then review microscopic scattering models that form the basis for statistical descriptions, and consider signatures of random scattering in decay, dynamics and transport. The last chapter briefly touches on Anderson localization and localization in interacting systems.

研究动机与目标

• 提供一个统一框架，将随机矩阵系综与开放量子系统中的物理可观测量联系起来。
• 阐明时间反演、轴子及电荷共轭等基本对称性与散射和输运中统计行为之间的相互作用。
• 解释尽管底层动力学复杂，为何有效随机矩阵模型能产生普遍预测。
• 探讨多体与无序系统中遍历性、热化与局域化之间的联系。
• 介绍分析工具（如非交叉近似与格林函数技术），用于计算本征值密度与散射性质。

提出的方法

• 使用高斯系综与Wishart-Laguerre系综，对具有或不具有时间反演对称性的系统中的随机哈密顿量与散射矩阵进行建模。
• 应用非交叉近似，计算非厄米矩阵的平均格林函数与本征值密度。
• 采用分块矩阵形式与预解算符技术，推导含随机杂质的散射系统的谱密度。
• 利用自由概率与蓝函数复合方法，求解复杂Ginibre系综中的本征值分布。
• 通过非厄米随机矩阵模型中的迹关系，推导出Petermann因子与散射极点分布。
• 应用闪蒸与连续时间散射方法，将微观模型与宏观输运及衰变可观测量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在开放量子系统中，十类Wigner-Dyson普遍性类如何由对称性产生？
• RQ2 随机散射矩阵中散射极点与延迟时间的统计分布是什么？
• RQ3 非厄米随机矩阵系综如何描述具有增益或损耗的开放量子系统的谱性质？
• RQ4 Petermann因子在非正交模式动力学中的作用是什么？其与本征值密度有何关系？
• RQ5 在多体系统中，遍历性如何破缺？局域化在此转变过程中起什么作用？

主要发现

• 非厄米Ginibre矩阵的本征值密度遵循圆律：ρ(z) = M/π（当|z| < 1时），在复平面上呈均匀分布。
• 谱内Petermann因子的平均值为O(z)/ρ(z) = M(1 - |z|²)，直接将非正交性与谱半径联系起来。
• 对于Wishart-Laguerre系综，本征值密度为ρ(λ) = M(c_x - 1)√[(λ - λ₋)(λ₊ - λ)] / [2πλ(1 + λ)]，其中λ±由M_x、M_y与M确定。
• 非交叉近似导出格林函数的自洽方程，从而实现谱密度的解析计算。
• 随机系统中的散射矩阵导致普遍延迟时间与传输统计特性，其受底层对称性类支配。
• 非厄米系统中非正交模式导致敏感性增强与非普遍输运，其程度由Petermann因子量化。