[论文解读] Random motions with space-varying velocities

Roberto Garra, Enzo Orsingher|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Diffusion and Search Dynamics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了在直线上和在平面上具有空间可变速度的随机运动，通过求解广义的双曲方程和欧拉-泊松-达布拉斯（EPD）方程，推导出粒子位置的显式概率分布。主要贡献在于对具有空间依赖速度的阻尼波动方程的解析求解，揭示了分布的支撑集呈现超椭圆（例如，星形线）的形式，对多项式速度分布和分数阶EPD型方程给出了精确解。

ABSTRACT

Random motions on the line and on the plane with space-varying velocities are considered and analyzed in this paper. On the line we investigate symmetric and asymmetric telegraph processes with space-dependent velocities and we are able to present the explicit distribution of the position $\mathcal{T}(t)$, $t>0$, of the moving particle. Also the case of a non-homogeneous Poisson process (with rate $λ= λ(t)$) governing the changes of direction is analyzed in three specific cases. For the special case $λ(t)= α/t$ we obtain a random motion related to the Euler-Poisson-Darboux (EPD) equation which generalizes the well-known case treated e.g. in Foong and Van Kolck (1992), Garra and Orsingher (2016) and Rosencrans (1973). A EPD--type fractional equation is also considered and a parabolic solution (which in dimension $d=1$ has the structure of a probability density) is obtained. Planar random motions with space--varying velocities and infinite directions are finally analyzed in Section 5. We are able to present their explicit distributions and for polynomial-type velocity structures we obtain the hyper and hypo-elliptic form of their support (of which we provide a picture).

研究动机与目标

• 将经典的双曲过程推广至包含直线上和直面上的空间依赖速度。
• 推导在控制方向变化的非齐次泊松过程下粒子位置的显式概率律。
• 分析在多项式速度函数下平面随机运动支撑集的几何结构。
• 将欧拉-泊松-达布拉斯方程推广以包含空间可变速度及分数阶形式。
• 建立随机飞行模型与具有变系数的阻尼波动方程之间的联系。

提出的方法

• 通过变量替换 $ y = \int_0^x \frac{dx'}{c(x')} $ 将变系数双曲方程转化为经典形式，从而实现显式解的推导。
• 使用特征线法和修正贝塞尔函数恒等式求解具有空间依赖 $ c(x) $ 的一维双曲方程，得到包含 $ I_0 $ 和狄拉克函数的概率密度。
• 对平面阻尼波动方程中空间可变的 $ c_1(x), c_2(y) $，采用类似变换 $ u = \int_0^x \frac{dw}{c_1(w)}, v = \int_0^y \frac{dz}{c_2(z)} $，将其约化为标准形式。
• 利用时间区间上的积分和第一类贝塞尔函数，推导位置向量 $ (X(t), Y(t)) $ 在 $ N(t) = n $ 条件下的条件特征函数。
• 通过对所有可能的方向变化次数 $ n $ 求和，构建完整的概率密度，得到一个包含 $ J_0 $ 函数的级数形式解。
• 分析幂律速度函数 $ c_j(x) \propto |x|^\gamma $ 下分布支撑集 $ \mathcal{D}_{\gamma,\beta} $ 的结构，证明其为超椭圆（Lamé曲线）。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间可变速度 $ c(x) $ 的引入如何影响一维双曲过程的概率分布？
• RQ2 当速度在每个坐标方向上依赖于位置时，平面随机运动的支撑集具有何种几何结构？
• RQ3 欧拉-泊松-达布拉斯方程能否推广以包含空间可变速度？其解具有何种形式？
• RQ4 当具有时变速率 $ \lambda(t) $ 的非齐次泊松过程与空间可变速度结合时，如何影响运动的分布？
• RQ5 分数阶导数在建模具有空间可变速度的随机运动中起什么作用？能否产生非负解？

主要发现

• 对于具有空间依赖速度 $ c(x) $ 的一维对称双曲过程，位置密度由包含修正贝塞尔函数 $ I_0 $、狄拉克函数及定义在区域 $ D $ 上的特征函数的显式公式给出，其中 $ D $ 由 $ \left| \int_0^x \frac{dx'}{c(x')} \right| < t $ 定义。
• 当 $ \lambda(t) = \alpha / t $ 时，模型给出与欧拉-泊松-达布拉斯方程相关的解，推广了早期研究中的已知结果。
• 对于速度为 $ c_1(x), c_2(y) $ 的平面运动，支撑集 $ \mathcal{D}_{\gamma,\beta} $ 为超椭圆，由 $ \left( \frac{c_1 |x|^{1-\gamma}}{1-\gamma} \right)^2 + \left( \frac{c_2 |y|^{1-\beta}}{1-\beta} \right)^2 < t^2 $ 定义，当 $ \gamma = \beta = 2/3 $ 时为星形线。
• 具有可分空间依赖速度 $ c_j(x_j) $ 的 $ d $ 维运动的概率密度由包含 $ \Gamma $-函数和时间-距离项的幂次的闭式表达式给出，当 $ \sum_{j=1}^d \left| \int_0^{x_j} \frac{du_j}{c_j(u_j)} \right|^2 < t^2 $ 时成立。
• 当 $ c_1(x) = c_1 $, $ c_2(y) = c_2 $ 时，支撑集退化为椭圆 $ c_1^2 |x|^2 + c_2^2 |y|^2 < t^2 $，与已知结果一致。
• 当 $ c_j(x) \propto |x|^{2/3} $ 时，支撑集边界变为星形线，且当 $ c_1 = c_2 = 1/3 $ 时，边界恰好为星形线 $ 9|x|^{2/3} + 9|y|^{2/3} < t^2 $。