[论文解读] Random-order Contention Resolution via Continuous Induction: Tightness for Bipartite Matching under Vertex Arrivals

Calum MacRury, Will Ma|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2023

Cooperative Communication and Network Coding被引用 4

一句话总结

本文提出了一种连续时间归纳框架，用于在随机顺序顶点到达下设计具有精确选择概率的随机顺序冲突解决方案（RCRS）。通过时间离散化算法并采样过去执行过程，该框架实现了在二分图中紧致的 (1+e⁻²)/2 ≈ 0.567 可选择性 RCRS，并将其推广至奇圈长为 g 的一般图，证明当 g→∞ 时收敛至相同界限。

ABSTRACT

We introduce a new approach for designing Random-order Contention Resolution Schemes (RCRS) via exact solution in continuous time. Given a function $c(y):[0,1] ightarrow [0,1]$, we show how to select each element which arrives at time $y \in [0,1]$ with probability exactly $c(y)$. We provide a rigorous algorithmic framework for achieving this, which discretizes the time interval and also needs to sample its past execution to ensure these exact selection probabilities. We showcase our framework in the context of online contention resolution schemes for matching with random-order vertex arrivals. For bipartite graphs with two-sided arrivals, we design a $(1+e^{-2})/2 \approx 0.567$-selectable RCRS, which we also show to be tight. Next, we show that the presence of short odd-length cycles is the only barrier to attaining a (tight) $(1+e^{-2})/2$-selectable RCRS on general graphs. By generalizing our bipartite RCRS, we design an RCRS for graphs with odd-length girth $g$ which is $(1+e^{-2})/2$-selectable as $g ightarrow \infty$. This convergence happens very rapidly: for triangle-free graphs (i.e., $g \ge 5$), we attain a $121/240 + 7/16 e^2 \approx 0.563$-selectable RCRS. Finally, for general graphs we improve on the $8/15 \approx 0.533$-selectable RCRS of Fu et al. (ICALP, 2021) and design an RCRS which is at least $0.535$-selectable. Due to the reduction of Ezra et al. (EC, 2020), our bounds yield a $0.535$-competitive (respectively, $(1+e^{-2})/2$-competitive) algorithm for prophet secretary matching on general (respectively, bipartite) graphs under vertex arrivals.

研究动机与目标

• 设计一种新的随机顺序冲突解决方案（RCRS）连续时间框架，实现精确的选择概率。
• 在随机顺序顶点到达的在线匹配中实现紧致的选择性界限，特别是在二分图中。
• 识别图的结构属性——特别是奇圈长——作为实现最优选择性的主要障碍。
• 将 RCRS 构造推广至一般图，并量化当奇圈长增加时选择性向最优界限的收敛程度。
• 通过从 RCRS 到在线算法的约化，改进 prophet secretary 匹配的先前竞争比。

提出的方法

• 提出一种连续时间归纳框架，为每个到达时间 y ∈ [0,1] 定义选择函数 c(y) ∈ [0,1]，确保在时间 y 到达的元素具有精确的选择概率 c(y)。
• 对时间区间 [0,1] 进行离散化，并通过采样过去执行过程来在随机顺序到达下保持精确的选择概率。
• 推导微分方程组，并利用随机过程分析验证：通过归纳法，时间 t 的选择概率与目标值一致。
• 为奇圈长 g ≥ 3 的图构造选择函数 c(y)，引入不完全伽马函数以考虑环结构的影响。
• 利用从 RCRS 到 prophet secretary 算法的约化，推导出在顶点到达下在线匹配的竞争比。
• 应用浓度不等式和鞅论证（例如 [BM23a] 中的定理 3）证明该方案的收敛性及性能的高概率界。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续时间归纳框架是否能在随机顺序顶点到达下实现 RCRS 中的精确选择概率？
• RQ2 在双侧顶点到达下，二分匹配的最优可选择性上限是多少？
• RQ3 短奇圈的存在如何影响一般图中最大可实现的选择性？
• RQ4 当奇圈长 g → ∞ 时，选择性在多大程度上收敛至 (1+e⁻²)/2？
• RQ5 该框架能否扩展以在一般图上实现 prophet secretary 匹配的改进竞争比？

主要发现

• 所提出的框架在双侧顶点到达的二分图中实现了 (1+e⁻²)/2 ≈ 0.567 可选择性的 RCRS，且该界限被证明是紧致的。
• 对于无三角形图（奇圈长 g ≥ 5），RCRS 的选择性约为 0.563，接近最优值 0.567。
• 当奇圈长 g → ∞ 时，RCRS 的选择性收敛至 (1+e⁻²)/2，表明奇圈是导致非最优性的唯一结构障碍。
• 对于一般图，该方法实现了 0.535 可选择性的 RCRS，优于 [FTW+21] 中先前的 8/15 ≈ 0.533 的界限。
• 通过 [EFGT22] 的约化，结果在一般图上导出了 0.535 竞争比的 prophet secretary 匹配算法，在二分图上导出了 (1+e⁻²)/2 竞争比的算法。