[论文解读] Random perturbations of diffeomorphisms with dominated splitting

José F. Alves, Vı́tor Araújo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 2

一句话总结

本文证明了具有主导分解的微分同胚的随机扰动具有有限多个平稳测度，刻画了其统计行为。文章给出了非均匀双曲微分同胚随机稳定性的必要与充分条件，并证明了此前由Alves、Bonatti与Viana研究的C²开集非均匀双曲系统是随机稳定的，同时将SRB测度与零噪声极限联系起来。

ABSTRACT

We prove that the statistical properties of random perturbations of a nonuniformly hyperbolic diffeomorphism are described by a finite number of stationary measures. We also give necessary and sufficient conditions for the stochastic stability of such dynamical systems. We show that a certain C²-open class of nonuniformly hyperbolic diffeomorphisms introduced in [Alves, J; Bonatti, C. and Viana, V., SRB measures for partially hyperbolic systems with mostly expanding central direction, Invent. Math., 140 (2000), 351-398] are stochastically stable. Our setting encompasses that of partially hyperbolic diffeomorphisms as well as uniformly hyperbolic diffeomorphisms. Moreover, the techniques used enable us to obtain SRB measures in this setting through zero-noise limit measures.

研究动机与目标

• 刻画具有主导分解的系统中随机扰动的统计特性。
• 为非均匀双曲微分同胚建立随机稳定性的必要与充分条件。
• 证明由Alves、Bonatti与Viana引入的具有大部分扩张中心方向的C²开集非均匀双曲系统是随机稳定的。
• 在该动力系统设定下，将零噪声极限测度与SRB测度联系起来。

提出的方法

• 利用平稳测度的框架分析随机扰动的长期统计行为。
• 应用非均匀双曲性与主导分解的技术，以控制李雅普诺夫指数与不变流形。
• 运用随机动力系统理论，推导出扰动系统收敛至不变测度的条件。
• 通过噪声趋于零时平稳测度的收敛性，建立随机稳定性。
• 依赖于零噪声极限下存在有限多个物理测度（SRB测度）的事实。
• 应用Alves、Bonatti与Viana（2000）关于具有大部分扩张中心的偏双曲系统SRB测度的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机扰动如何影响具有主导分解的微分同胚的统计性质？
• RQ2 在具有主导分解的非均匀双曲系统中，何种条件可确保随机稳定性？
• RQ3 Alves、Bonatti与Viana引入的C²开集非均匀双曲微分同胚是否具有随机稳定性？
• RQ4 该类系统中的SRB测度能否作为零噪声极限测度被恢复？
• RQ5 主导分解在确保随机扰动下平稳测度的有限性中起什么作用？

主要发现

• 具有主导分解的微分同胚的随机扰动仅允许有限多个平稳测度，从而刻画了其长期统计行为。
• 推导出随机稳定性的必要与充分条件，将平稳测度收敛至未扰动系统的性质联系起来。
• 证明了具有大部分扩张中心方向的C²开集非均匀双曲微分同胚是随机稳定的。
• 该类系统的SRB测度可作为零噪声极限测度获得，从而为物理测度提供了动力学构造。
• 结果可推广至均匀双曲与部分双曲系统，统一了在噪声下统计性质的处理。
• 主导分解结构确保了统计性质在小随机扰动下的鲁棒性。