[论文解读] Random perturbations of non-uniformly expanding maps

José F. Alves, Vı́tor Araújo|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 50

一句话总结

本文通过分析马尔可夫划分和不变叶状结构，建立了非一致扩张映射在有或无临界集情况下的随机扰动下随机稳定的充分必要条件。证明了当噪声较小时，描述随机轨道统计行为的物理测度数量受SRB测度数量的限制，并将这些结果应用于确认[Vi1]和[ABV]中引入的映射类的随机稳定性。

ABSTRACT

We give both sufficient conditions and necessary conditions for the stochastic stability of non-uniformly expanding maps either with or without critical sets. We also show that the number of probability measures describing the statistical asymptotic behaviour of random orbits is bounded by the number of SRB measures if the noise level is small enough. As an application of these results we prove the stochastic stability of certain classes of non-uniformly expanding maps introduced in \cite{V} and \cite{ABV}.

研究动机与目标

• 建立非一致扩张动力系统在有或无临界集情况下的随机稳定性的充分必要条件。
• 分析随机扰动如何影响轨道的统计行为，特别是狄拉克测度时间平均的收敛性。
• 在小噪声条件下，通过SRB测度的数量对描述随机轨道长期统计行为的物理测度数量进行上界估计。
• 利用该框架严格证明[Vi1]和[ABV]中引入的特定非一致扩张映射类的随机稳定性。

提出的方法

• 通过参数 $ t \to T $ 的 $ C^2 $ 映射族 $ f_t $ 定义随机轨道，其中噪声分布 $ \theta_\epsilon $ 支撑在 $ t^* $ 附近，且 $ f = f_{t^*} $。
• 利用弱-*拓扑，将物理测度 $ \mu^\epsilon $ 定义为随机轨道上狄拉克测度时间平均的弱极限。
• 通过向量场 $ (\xi^c(\underline{t},z), 1) $ 的解构造不变叶状结构 $ \mathcal{F}^c_{\underline{t}} $，并利用水平扩张和同伦障碍论证确保其唯一性。
• 将马尔可夫划分 $ \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ 定义为不变叶的补集的原像，随时间细化，并得到指数大小估计。
• 利用动力系统的连续性以及 $ \xi^c(\underline{t}^*, \cdot) $ 对应该未扰动叶状结构的事实，证明当 $ \epsilon $ 较小时，$ \xi^c(\underline{t}, \cdot) $ 一致趋近于零。
• 利用所得的马尔可夫结构，推导出集合 $ B_1(n) $ 和 $ B_2(n) $ 的勒贝格测度的定量估计，其中常数仅依赖于二次映射 $ Q $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非一致扩张映射在小随机扰动下是随机稳定的？
• RQ2 随机轨道的物理测度数量与未扰动系统中SRB测度数量之间有何关系？
• RQ3 能否利用该框架严格证明[Vi1]和[ABV]中引入的映射类的随机稳定性？
• RQ4 不变叶状结构和马尔可夫划分在非一致双曲系统中证明随机稳定性的过程中起到什么作用？
• RQ5 中心方向 $ \xi^c $ 对零的一致接近性在确保统计性质稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 为具有或不具有临界集的非一致扩张映射建立了随机稳定的充分必要条件。
• 当噪声水平 $ \epsilon $ 足够小时，描述随机轨道统计行为的物理测度数量受SRB测度数量的上界限制。
• 当 $ \epsilon > 0 $ 足够小时，映射 $ \xi^c(\underline{t}, \cdot) $ 一致接近于零，从而保证了良好行为的不变叶状结构 $ \mathcal{F}^c_{\underline{t}} $ 的存在。
• 通过水平扩张和同伦障碍论证，证明了向量场 $ (\xi^c(\underline{t}, z), 1) $ 的积分曲线的唯一性。
• 马尔可夫划分 $ \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ 通过不变叶的原像构造，其直径满足 $ (d - \text{const} \cdot \alpha)^{-n} \leq |\omega| \leq (d + \text{const} \cdot \alpha)^{-n} $，其中 $ \omega \in \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $。
• 结果确认了[Vi1]和[ABV]中引入的非一致扩张映射类在小随机扰动下的随机稳定性。