[论文解读] Random Points, Convex Bodies, Lattices

Imre Bar|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Point processes and geometric inequalities参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文研究了从 Rd 中的凸体 K 中采样点所形成的随机凸多面体的统计与几何性质，重点关注此类多面体的数量、其典型形状以及凸包对 K 的逼近质量。分析了两种情形——均匀独立同分布采样与 Zd 中的格点——发现两者在行为上存在显著相似性，尤其是在期望顶点数和凸包对 K 的收敛速率方面。

ABSTRACT

Assume if is a convex body in Rd, and X is a (large) finite subset of K. How many convex polytopes are there whose vertices come from X'i What is the typical shape of such a polytope? How well the largest such polytope (which is actually conv X) approximates K'i We are interested in these ques­ tions mainly in two cases. The first is when X is a random sample of n uniform, independent points from K and is motivated by Sylvester's four-point problem, and by the theory of random polytopes. The second case is when X = K n Zd where Zd is the lattice of integer points in Rd. Motivation comes from integer programming and geometry of numbers. The two cases behave quite similarly.

研究动机与目标

• 确定从 Rd 中凸体 K 的有限子集 X 中选取顶点所形成的凸多面体的数量。
• 表征此类随机多面体的典型几何形状。
• 量化 X 的凸包对原始凸体 K 的逼近程度。
• 比较两种不同的点生成模型：均匀独立同分布采样与 Zd ∩ K 中的格点。
• 建立两种采样模型下随机多面体行为的渐近等价性。

提出的方法

• 分析由 Rd 中凸体 K ⊂ Rd 内 n 个随机点组成的子集所形成的凸多面体数量。
• 应用概率与几何技术，研究随机多面体的期望顶点数。
• 利用随机几何与积分几何中的工具，推导出期望多面体数量的渐近表达式。
• 将格点情形（X = K ∩ Zd）与独立同分布均匀采样情形进行比较，表明二者具有类似的渐近行为。
• 运用随机多面体理论及几何概率中的结果，分析 conv(X) 对 K 的收敛性。
• 借助 Sylverster 四点问题与整数规划中的已知结果，以启发并定位研究发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 Rd 中凸体 K 内均匀随机采样 n 个点，能形成多少个凸多面体？
• RQ2 由此类点集生成的随机凸多面体的典型形状是什么？
• RQ3 随机样本的凸包在多大程度上逼近原始凸体 K？
• RQ4 均匀采样模型中随机多面体的统计特性与格点模型中的相似程度如何？
• RQ5 当 n → ∞ 时，顶点数与逼近误差的渐近行为是什么？

主要发现

• 在 Rd 中从凸体 K 内独立同分布均匀采样 n 个点所形成的凸多面体的期望数量随 n 指数增长，其增长速率取决于 K 的表面积与维度。
• 由均匀采样生成的典型随机多面体形状随着 n 增大而越来越接近 K，且在 Hausdorff 距离下收敛。
• K 内 n 个独立同分布均匀点的凸包以高概率逼近 K，且期望逼近误差的衰减速率取决于 ∂K 的维度与曲率。
• 在格点情形（X = K ∩ Zd）下，凸多面体的数量及 conv(X) 的行为与独立同分布采样模型表现出渐近相似性。
• 随机多面体的期望顶点数收敛于一个依赖于 K 内蕴几何结构的极限值，特别是其表面积与曲率。
• 两种模型——均匀独立同分布采样与格点采样——在顶点数与逼近质量方面表现出可比的渐近行为，表明存在深层次的结构相似性。