[论文解读] Random polynomials and expected complexity of bisection methods for real solving

Ioannis Z. Emiris, André Galligo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文分析了在具有独立同分布高斯系数的随机多项式上，精确实根隔离算法（特别是Sturm方法）的期望复杂度。通过利用Kac和Edelman-Kostlan关于根分布的结果，推导出期望位复杂度为$ widetilde{ mathcal{O}}_B(rd^2\tau)$，其中$r$为实根数量，$\tau$为系数位宽，表明随机多项式通常具有少量且分离良好的实根，从而解释了尽管最坏情况复杂度较差，精确求解器在实践中仍表现出色的原因。

ABSTRACT

Our probabilistic analysis sheds light to the following questions: Why do random polynomials seem to have few, and well separated real roots, on the average? Why do exact algorithms for real root isolation may perform comparatively well or even better than numerical ones? We exploit results by Kac, and by Edelman and Kostlan in order to estimate the real root separation of degree $d$ polynomials with i.i.d.\ coefficients that follow two zero-mean normal distributions: for SO(2) polynomials, the $i$-th coefficient has variance ${d \choose i}$, whereas for Weyl polynomials its variance is ${1/i!}$. By applying results from statistical physics, we obtain the expected (bit) complexity of \func{sturm} solver, $\sOB(r d^2 τ)$, where $r$ is the number of real roots and $τ$ the maximum coefficient bitsize. Our bounds are two orders of magnitude tighter than the record worst case ones. We also derive an output-sensitive bound in the worst case. The second part of the paper shows that the expected number of real roots of a degree $d$ polynomial in the Bernstein basis is $\sqrt{2d}\pm\OO(1)$, when the coefficients are i.i.d.\ variables with moderate standard deviation. Our paper concludes with experimental results which corroborate our analysis.

研究动机与目标

• 解释为何如Sturm方法等精确实根隔离算法在实践中表现良好，尽管其理论最坏情况复杂度较差。
• 分析具有独立同分布高斯系数的随机多项式中实根分离的统计行为。
• 在多项式系数的概率假设下，推导Sturm算法的紧致期望复杂度界。
• 将洞察扩展至其他精确求解器，如Descartes方法和基于Bernstein的算法。
• 通过在根分布和算法性能方面的实验结果验证理论发现。

提出的方法

• 利用Kac和Edelman-Kostlan关于具有独立同分布高斯系数的随机多项式中实根的期望数量和分布结果。
• 分析两种系数分布：方差为$\binom{d}{i}$的SO(2)多项式和方差为$1/i!$的Weyl多项式。
• 应用统计物理工具估计根间距并推导期望位复杂度界。
• 推导出Sturm算法的期望复杂度$\widetilde{\mathcal{O}}_B(rd^2\tau)$，其中$r$为实根数量，$\tau$为系数位宽。
• 采用Bernstein基变换研究根分布，表明$(0,1)$区间内根的$\arccos(2t_i - 1)$在$(0,\pi)$上服从均匀分布。
• 对随机多项式进行实验，以验证关于根数量和区间内分布的理论预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何随机多项式通常具有少量且分离良好的实根，从而实现高效的根隔离？
• RQ2 对于具有独立同分布高斯系数的随机多项式，Sturm算法的期望位复杂度是多少？
• RQ3 在Bernstein基下，根的分布与均匀性相比如何？这对算法复杂度有何影响？
• RQ4 在概率假设下，精确求解器的期望复杂度能否显著优于最坏情况界？
• RQ5 随机多项式中根分离的统计特性如何解释精确算法的实际效率？

主要发现

• SO(2)多项式的期望实根数为$\sqrt{d}$，而Weyl多项式的期望实根数为$\frac{2}{\pi}\sqrt{d} + \mathcal{O}(1)$。
• Sturm算法在随机多项式上的期望位复杂度为$\widetilde{\mathcal{O}}_B(rd^2\tau)$，比最坏情况界紧致两个数量级。
• 在Bernstein基变换下，$(0,1)$区间内实根的分布满足$\arccos(2t_i - 1) \sim \text{Uniform}(0,\pi)$，经概率-概率图验证。
• 实验结果表明，约$3/4$的实根为正，$1/2$位于$(0,1)$区间，$1/4$位于$(1,\infty)$区间，适用于Bernstein基下的随机多项式。
• 在Bernstein基下，实根数量为$\sqrt{2d} \pm \mathcal{O}(1)$，与理论预测一致。
• 该分析解释了精确求解器的实际效率：少量且分离良好的实根导致更快的细分过程和更低的求值成本。