[论文解读] Random Sets and Invariants for (Type II) Continuous Tensor Product Systems of Hilbert Spaces

Volkmar Liebscher|ArXiv.org|Jun 25, 2003

Fuzzy and Soft Set Theory被引用 16

一句话总结

本文建立了类型 II 的连续张量积希尔伯特空间系统（CTPS）与 [0,1] 或 R+ 上的平稳、可分解的随机闭集测度类型之间的对应关系，表明这些测度类型可作为不变量。本文证明了每个此类测度类型均可生成唯一的 CTPS，并利用此结果将类型 III CTPS 的分类问题归约为类型 II 问题，同时表明 CTPS 的可测结构由其代数结构唯一确定。

ABSTRACT

In a series of papers Tsirelson constructed from measure types of random sets and generalised random processes a new range of examples for continuous tensor product systems of Hilbert spaces introduced by Arveson for classifying $E_0$-semigroups. This paper establishes the converse: Each continuous tensor product systems of Hilbert spaces comes with measure types of distributions of random (closed) sets in [0,1] or $R_+$. These measure types are stationary and factorise over disjoint intervals. In a special case of this construction, the corresponding measure type is an invariant of the product system and the range of the invariant is characterized. Moreover, based on a detailed study of this kind of measure types, we construct for each stationary factorizing measure type a continuous tensor product systems of Hilbert spaces such that this measure type arises as the before mentioned invariant. The measure types of the above described kind are connected with representations of the corresponding $L^\infty$-spaces. This leads to direct integral representations of the elements of a given product system which combine well under tensor products. Using this structure in a constructive way, we can relate to any (type III) product system a product system of type $II_0$ preserving isomorphy classes. Thus, the classification of type III product systems reduces to that of type II ones. Further, we show that all consistent measurable structures on an algebraic continuous tensor product systems of Hilbert spaces yield isomorphic product systems. Thus the measurable structure of a continuous tensor product systems of Hilbert spaces is essentially determined by its algebraic one.

研究动机与目标

• 本文旨在通过引入随机集测度类型作为类型 II 系统的不变量，完成对连续张量积系统（CTPS）的分类。
• 它试图建立 Tsirelson 构造的逆命题，将 CTPS 与随机闭集的分布联系起来。
• 该工作旨在通过证明平稳、可分解的测度类型可完全决定类型 II 的 CTPS，从而统一分类方案。
• 它研究了如何利用直积分表示和 L∞-表示来分析和构造 CTPS。
• 本文旨在证明 CTPS 的可测结构由其代数结构唯一决定，从而消除分类中的歧义。

提出的方法

• 本文通过单位和可分解投影，从 CTPS 构造出 [0,1] 或 R+ 上随机闭集的测度类型。
• 它证明了该测度类型在不相交区间上是平稳且可分解的，因此是 CTPS 的不变量。
• 该构造使用与测度类型相关的 L∞-代数表示，对 CTPS 元素进行直积分表示。
• 它建立了平稳可分解测度类型与 CTPS 之间的满射对应关系，表明每个此类测度类型均可生成唯一的 CTPS。
• 本文使用 GNS 型表示和代数结构，在 CTPS 上定义内在的可测结构。
• 它证明了单个周期性酉群的连续性可推出相容可测结构的存在，且所有此类结构均给出同构的 CTPS。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 [0,1] 或 R+ 上的平稳、可分解的随机闭集测度类型是否均可用于构造一个连续张量积希尔伯特空间系统？
• RQ2 与类型 II CTPS 相关的随机集测度类型是否为不变量，可将其按同构分类？
• RQ3 连续张量积希尔伯特空间系统的可测结构是否仅取决于其代数结构，还是存在多个非同构的可测结构？
• RQ4 是否可通过构造相应的类型 II 系统，将类型 III CTPS 的分类归约为类型 II（或类型 II0）CTPS 的分类？
• RQ5 CTPS 的自同构是否在它的归一化单位上作用传递，这对不变量和结构理论有何影响？

主要发现

• 每个 [0,1] 或 R+ 上的平稳、可分解的随机闭集测度类型均可唯一生成一个连续张量积希尔伯特空间系统。
• 与类型 II CTPS 相关的随机集测度类型是不变量，可将其按同构分类。
• 连续张量积希尔伯特空间系统的可测结构由其代数结构唯一决定，因此所有相容的可测结构均产生同构系统。
• 类型 III 连续张量积系统的分类可通过对保持同构类的构造，归约为类型 II（甚至类型 II0）系统的分类。
• CTPS 的直积分表示与张量积相容，并自然地源于测度类型的 L∞-表示。
• 从 CTPS 到其关联的随机集测度类型的映射是满射，意味着每个此类测度类型均可由某个 CTPS 产生。