[论文解读] Random Sparse Polynomial Systems

Gregorio Malajovich, J. Maurice Rojas|ArXiv.org|Dec 13, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过将稀疏随机多项式系统的根分布与环面流形上的混合体积形式联系起来，建立了一个概率框架。它推导出条件数超过 $1/\varepsilon$ 的概率的显式上界，该上界依赖于混合体积形式的积分以及定义域的一个内在几何不变量，利用辛几何与凯勒几何将经典结果推广至稀疏系统。

ABSTRACT

Let f:=(f^1,\...,f^n) be a sparse random polynomial system. This means that each f^i has fixed support (list of possibly non-zero coefficients) and each coefficient has a Gaussian probability distribution of arbitrary variance. We express the expected number of roots of f inside a region U as the integral over U of a certain mixed volume form. When U = (C^*)^n, the classical mixed volume is recovered. The main result in this paper is a bound on the probability that the condition number of f on the region U is larger than 1/epsilon. This bound depends on the integral of the mixed volume form over U, and on a certain intrinsic invariant of U as a subset of a toric manifold. Polynomials with real coefficients are also considered, and bounds for the expected number of real roots and for the condition number are given. The connection between zeros of sparse random polynomial systems, Kahler geometry, and mechanics (momentum maps) is discussed.

研究动机与目标

• 通过混合体积形式表征随机稀疏多项式系统根的期望数量。
• 界定随机稀疏系统条件数超过 $1/\varepsilon$ 的概率。
• 通过引入辛几何与凯勒几何结构，将稠密系统的结果推广至稀疏系统。
• 分析具有实系数系统的实根性与条件数行为。

提出的方法

• 将凯勒流形结构 $(\mathcal{T}^n, \omega_A, J)$ 作为稀疏系统根的自然相空间。
• 在与系统牛顿多面体相关的环面概形上定义混合体积形式。
• 应用余面积公式与隐函数理论，将根计数与求值映射的雅可比行列式联系起来。
• 采用方差矩阵为 $C$ 的高斯分布系数来建模随机正规多项式。
• 利用辛几何中的动量映射，从力学系统的角度解释根的分布。
• 引入定义域 $U$ 的内在几何不变量，作为条件数上界的关键因素。

实验结果

研究问题

• RQ1 稀疏随机多项式系统的根的期望数量如何依赖于其牛顿多面体的几何结构？
• RQ2 随机稀疏系统的条件数超过阈值 $1/\varepsilon$ 的概率是多少？
• RQ3 辛几何与凯勒结构如何自然地出现在稀疏多项式系统分析中？
• RQ4 具有实系数的稀疏系统中，实根的期望数量是多少？
• RQ5 实稀疏系统的条件数如何与底层环面流形的几何结构相关？

主要发现

• 在区域 $U$ 中，稀疏随机多项式系统的根的期望数量由混合体积形式在 $U$ 上的积分为表达，当 $U = (\mathbb{C}^*)^n$ 时，该结果推广了经典混合体积概念。
• 条件数超过 $1/\varepsilon$ 的概率被一个与 $U$ 上混合体积形式的积分及 $U$ 的内在几何不变量成正比的项所界定。
• 对于实系数系统，本文给出了实根期望数量的上界，扩展了复数情形的结果。
• 条件数上界通过余面积公式与求值映射的雅可比行列式推导得出，其中辛几何中的动量映射起关键作用。
• 该框架揭示了稀疏系统根、凯勒几何与经典力学之间通过动量映射的深刻联系。
• 该结果在系数方差下具有鲁棒性，并将稠密系统的酉不变复杂性理论推广至稀疏情形。