[论文解读] Random Switching between Vector Fields Having a Common Zero

Michel Benaı̈m, Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了在原点处具有共同零点的向量场之间随机切换的连续时间半马尔可夫过程（PDMPs）。通过分析平衡点附近的线性化系统，证明了上李雅普诺夫指数决定了长期行为：若为负，则过程几乎必然且指数收敛于原点；若为正，则在不可约性和次椭圆性条件下，过程以分布收敛于远离原点的唯一不变测度。

ABSTRACT

Let $E$ be a finite set, $\{F^i\}_{i \in E}$ a family of vector fields on $\mathbb{R}^d$ leaving positively invariant a compact set $M$ and having a common zero $p \in M.$ We consider a piecewise deterministic Markov process $(X,I)$ on $M imes E$ defined by $\dot{X}_t = F^{I_t}(X_t)$ where $I$ is a jump process controlled by $X:$ $\Pr(I_{t+s} = j | (X_u, I_u)_{u \leq t}) = a_{i j}(X_t) s + o(s)$ for $i eq j$ on $\{I_t = i \}.$ We show that the behavior of $(X,I)$ is mainly determined by the behavior of the linearized process $(Y,J)$ where $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t,$ $A^i$ is the Jacobian matrix of $F^i$ at $p$ and $J$ is the jump process with rates $(a_{ij}(p)).$ We introduce two quantities $Λ^-$ and $Λ^+$ respectively %called the {\em minimal} and {\em maximal average growth rate.} $Λ^-$ (respectively $Λ^+$) is defined as the {\em minimal} (respectively {\em maximal}) {\em growth rate} of $\|Y_t\|,$ where the minimum (respectively maximum) is taken over all the ergodic measures of the angular process $(Θ, J)$ with $Θ_t = \frac{Y_t}{\|Y_t\|}.$ It is shown that $Λ^+$ coincides with the top Lyapunov exponent (in the sense of ergodic theory) of $(Y,J)$ and that under general assumptions $Λ^- = Λ^+.$ We then prove that, under certain irreducibility conditions, $X_t o p$ exponentially fast when $Λ^+ < 0$ and $(X,I)$ converges in distribution at an exponential rate toward a (unique) invariant measure supported by $M \setminus \{p\} imes E$ when $Λ^- > 0.$ Some applications to certain epidemic models in a fluctuating environment are discussed and illustrate our results.

研究动机与目标

• 研究在原点处具有共同平衡点的随机切换向量场的PDMP的长期行为。
• 确定过程收敛于平衡点（灭绝）或持续存在于其外部（随机持续性）的条件。
• 建立线性化系统上李雅普诺夫指数与非线性系统渐近行为之间的联系。
• 将指数收敛性和不变测度结果推广至具有状态依赖切换速率和紧致不变集的系统。
• 将该框架应用于随机环境中的流行病模型，说明持续性与灭绝的情景。

提出的方法

• 将PDMP动力学形式化为 $\dot{X}_t = F^{I_t}(X_t)$，其中 $I_t$ 为具有状态依赖速率 $a_{ij}(x)$ 的跳跃过程。
• 在共同零点 $p=0$ 处对系统进行线性化，得到 $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t$，其中 $A^i$ 为 $F^i$ 在 0 处的雅可比矩阵。
• 定义角度过程 $\Theta_t = Y_t / \|Y_t\|$，并分析其遍历测度以定义增长率 $\Lambda^-$ 和 $\Lambda^+$。
• 证明 $\Lambda^+$ 等于线性化系统 $(Y,J)$ 的上李雅普诺夫指数，且在一般条件下 $\Lambda^- = \Lambda^+$。
• 利用随机持续性理论，证明当 $\Lambda^- > 0$ 时，过程收敛于不变测度；当 $\Lambda^+ < 0$ 时，过程以概率 1 收敛于原点。
• 将结果应用于具有随机环境波动的流行病模型，说明切换速率如何影响疾病持续或灭绝。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PDMP 几乎必然且指数快速收敛于向量场的共同零点？
• RQ2 线性化系统的上李雅普诺夫指数如何决定非线性切换过程的长期行为？
• RQ3 在何种条件下，过程表现出随机持续性，即以分布收敛于 $M \setminus \{0\} \times E$ 上的唯一不变测度？
• RQ4 不可约性与次椭圆性（Hörmander 型）条件在确保指数收敛性和不变测度唯一性方面起什么作用？
• RQ5 该框架如何用于建模随机切换环境中的疾病动力学？什么因素决定了持续或灭绝？

主要发现

• 线性化系统 $\dot{Y}_t = A^{J_t} Y_t$ 的上李雅普诺夫指数 $\Lambda^+$ 与角度过程遍历测度上 $\|Y_t\|$ 的最大增长率 $\Lambda^+$ 一致。
• 在一般假设下，最小与最大增长率满足 $\Lambda^- = \Lambda^+$，意味着线性化系统具有唯一的指数增长速率。
• 若 $\Lambda^+ < 0$，则 $X_t \to 0$ 几乎必然且指数快速收敛，表明过程在原点附近灭绝。
• 若 $\Lambda^- > 0$，则过程 $(X_t, I_t)$ 以分布收敛于 $M \setminus \{0\} \times E$ 上的唯一不变概率测度，表明存在随机持续性。
• 在不可约性和次椭圆性条件下，建立了向不变测度的总变差指数收敛。
• 在流行病模型中的应用表明，环境状态之间的切换可导致持续或灭绝，具体取决于 $\Lambda^+$ 的符号，即使单个向量场本身不稳定。